Dimension, Basis Untervektroraum der Polynome

19.01.2012, 19:18

1nstinct

Dimension, Basis Untervektroraum der Polynome

Hallo zusammen,

Ich häng an dieser Aufgabe:

Gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R _{\leq 5}[X] \end{eqnarray*}$ , der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum der Polynome des Grades $\begin{eqnarray*} \leq 5 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} H=\left\{P(X)\in \mathbb R _{\leq 5}[X];P(1)=P(2)=P(3)=0\right\} \end{eqnarray*}$

1) Ist H ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R _{\leq 5}[X] \end{eqnarray*}$ ?
2)Falls ja, bestimmen sie Dimension und eine Basis von H.

Meine Idee:

zu 1): Axiome Überprüfen:

schon hier meine erste Frage: kann ich schreiben dass:
$\begin{eqnarray*} (P+Q)(X)=P(X)+Q(X) \end{eqnarray*}$ und dann folgern:
$\begin{eqnarray*} (P+Q)(1)=P(1)+Q(2)=0+0=0 \end{eqnarray*}$ , analog u 2 und 3?

und weiter:
$\begin{eqnarray*} (\lambda*P)(X)=\lambda*(P(X)) \end{eqnarray*}$ und dann folgern:
$\begin{eqnarray*} (\lambda*P)(1)=\lambda*(P(1))=\lambda*0=0 \end{eqnarray*}$ , analog 2,3?

Wäre damit schon H als Untervektrorraum bewiesen?

zu 2) habe ich nur den Ansatz:
$\begin{eqnarray*} P(1)=P(2)=P(3)=a_{0}+a_{1}*X+a_{2}X^2+a_{3}*X^3+a_{4}*X^4+a_{5}*X^5=0 \end{eqnarray*}$
darauf folgt: $\begin{eqnarray*} a_{0}=...=a_{5}=0 \end{eqnarray*}$

ist die Dimension von H somit 0 und die Basis ebenfalls?

danke für eure Hilfe smile

19.01.2012, 19:26

Mulder

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RE: Dimension, Basis Untervektroraum der Polynome

Zitat:

Original von 1nstinct
Wäre damit schon H als Untervektrorraum bewiesen?

Erwähne noch, dass H nichtleer ist. Zum Beispiel in dem du kurz erwähnst, dass der Nullvektor (in unserem Fall das Polynom f(x)=0, als die Nullabbildung) in H enthalten ist. Sonst okay.

Zitat:

Original von 1nstinct
zu 2) habe ich nur den Ansatz:
$\begin{eqnarray*} P(1)=P(2)=P(3)=a_{0}+a_{1}*X+a_{2}X^2+a_{3}*X^3+a_{4}*X^4+a_{5}*X^5=0 \end{eqnarray*}$
darauf folgt: $\begin{eqnarray*} a_{0}=...=a_{5}=0 \end{eqnarray*}$

ist die Dimension von H somit 0 und die Basis ebenfalls?

Da komm ich nicht mit, wieso sollten die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ null sein? Das ist Quatsch. Und die Dimension kann doch auch nicht null sein, dann dürfte ja nur der Nullvektor in H liegen, aber es ist doch offensichtlich, dass dem nicht so ist.

Hier hat sich eine Kommilitonen von dir zu Wort gemeldet, da steht zu der Basis schon eine ganze Menge: Klick!

19.01.2012, 19:35

1nstinct

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RE: Dimension, Basis Untervektroraum der Polynome
und wieder mal ein großes Danke an dich smile

Und ich hätte mich zuerst mal im Forum umschauen müssen, entschuldige bitte unglücklich

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Dimension, Basis Untervektroraum der Polynome

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