Student-t-Verteilung nachweisen

19.01.2012, 21:04	Stat-istiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Student-t-Verteilung nachweisen Hallo, man habe die Zufallsgrößen X1,...,Xn, welche normalverteilt sind mit N(u,o^2). Nun möchte ich unter der Annahme u=0 beweisen, dass: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{n-1}\cdot \frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n x_i }{\sqrt{\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n {(x_i-\overline X )}^2}} \end{eqnarray}$ einer Student-t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden folgt. Dazu ist zur Hilfe gegeben: Wenn man 2 unabhängige Zufallsgrößen U und V hat, wobei U einer normierten Normalverteilung folgt, und V Chi-Quadrat verteilt ist mit k Freiheitsgraden, dann ist $\begin{eqnarray} \frac U {\sqrt{\frac 1 k \cdot V}} \end{eqnarray}$ Student-t verteilt mit k Freiheitsgraden. und: $\begin{eqnarray} V=\frac 1 {\sigma^2} \sum\limits_{i=1}^n {(x_i-\overline X )}^2 \end{eqnarray}$ ist Chi-Quadrat verteilt mit n-1 Freiheitsgraden. Einen konkreten Ansatz habe ich leider noch nicht. Ich muss denke ich zeigen, das ein Teil des Ausdrucks das U und der andere das V ist. Weiterhin weiß ich, dass im Nenner unter der Wurzel die empirische Varianz steht und im Nenner der empirische Mittelwert. Aber so recht kann ich das alles noch nicht in Verbindung bringen.
19.01.2012, 21:17	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier musst du mehrere Sachen zeigen: Schritt 1: Zeige dass im Zähler was normalverteiltes, und im Nenner die Wurzel von was Chi-Quadrat-verteiltem steht. Schritt 2: Zeige dass Zähler und Nenner s.u sind Schritt 1 sollte hier eigentlich nicht zu schwer fallen, fangen wir mal mit dem Zähler an. Da steht etwas von der Form $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray}$ . Nun sind die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ alle normalverteilt, was gilt dann für den Mittelwert?
19.01.2012, 21:25	Stat-istiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke ich glaube ich habe es schon fast hinbekommen. Ich habe einfach mit 1/o erweitert, Dann das Wurzel(n-1) aus dem Zähler in den Nenner gepackt, dasselbe andersherum mit dem Wurzel(1/n) im Nenner. Dann habe ich im Zähler etwas normiert Normalverteiltes und im Nenner genau das, was in der Aufgabe angegeben war. Bei der nächsten Aufgabe soll ich nun Zeigen, dass der gesamte Ausdruck für große n gegen N(0,1) konvergiert. Kannst du mir dazu auch einen Tipp geben?
19.01.2012, 23:10	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du denn auch schon die Unabhängigkeit von Zähler und Nenner gezeigt?
20.01.2012, 00:12	Stat-istiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein habe ich noch nicht. Das habe ich ganz vergessen. Ich sehe nur gerade nicht, wie ich das machen könnte.
20.01.2012, 00:55	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Habt ihr die Multivariate Normalverteilung behandelt?
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20.01.2012, 20:12	Stat-istiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe schon einmal davon gehört, kann mich jedoch nicht mehr daran erinnern, was es war. Hast du einen Tipp, wonach ich suchen soll in Bezug auf diese Verteilung?
20.01.2012, 20:48	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche Zähler und Nenner (also emp. Mittel und empirische Varianz) als Orthogonalprojektionen einer multivariat-normalverteilten Zufallsvariable darzustellen. Wenn man das geschafft hat, sieht man dass die Projektionsmatrizen senkrecht zu einander sind, damit hat man dann auch schon die Unabhängigkeit gezeigt.

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