partielle Ableitung, Lösung korrekt?

19.01.2012, 22:11

Nerd1989

partielle Ableitung, Lösung korrekt?

Hallo zusammen,

ich versuche mich gerade an der partiellen Ableitung von:

f(x,y)= $\begin{eqnarray*} (x^{2}-3y)* ln(xy^{2}+1) \end{eqnarray*}$

also ich soll nach x allgemein und x= 0 ableiten. Und dann einmal nach y=- 2.

Mein Denkansatz:

1.Ableitung nach x

Die erste Klammer kann ich ohne besondere Regel ableiten, 3y fallen weg, da sie als Konstante gesehen werden und aus $\begin{eqnarray*} (x^{2} \end{eqnarray*}$ wird 2x. Für die 2. Klammer nutze ich die Kettenregel und erhalte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(xy^{2}+1) }*ln(2x) \end{eqnarray*}$ .

Somit wäre die 1. Ableitung nach x:

$\begin{eqnarray*} 2x * \frac{1}{(xy^{2}+1) }*ln(2x) \end{eqnarray*}$

die 1. Ableitung nach x an der Stelle 0 wäre dann:

$\begin{eqnarray*} 2*0 \frac{1}{(0+1) }*ln(1) \end{eqnarray*}$ = 0.

Um nun den Wert nach y=-2 zu erhalten leite ich zuerst allgemein nach y ab. Ich gehe genau so vor wie oben und erhalte:

$\begin{eqnarray*} -3*\frac{1}{(xy^{2}+1)}*ln(2y) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun -2 einsetzen möchte habe ich das Problem, das ln(-4) nicht lösbar ist und ich somit wahrscheinlich einen Fehler gemacht habe. Kann mir vllt einer von euch helfen?

Danke und Grüße

19.01.2012, 22:55

Dopap

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schon mal was von Produktregel gehört?

19.01.2012, 23:06

Nerd1989

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ach du meine Güte !!!!

Ja, umso schlimmer, dass ich Sie hier nicht angewandt habe.

Neuer Vorschlag folgt, danke!

19.01.2012, 23:58

Nerd1989

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1.Ableitung nach x

$\begin{eqnarray*} =2x*ln(xy^{2}+1)+(x^{2}-3y)*\frac{1}{(xy^{2}+1)} * 2x \end{eqnarray*}$

1.Ableitung nach x=0

$\begin{eqnarray*} =2*0*ln(1)+(0-3y)*\frac{1}{(xy^{2}+1)} * 2*0 =-3y \end{eqnarray*}$

1. Ableitung nach y

$\begin{eqnarray*} =-3*ln(xy^{2}+1)+(x^{2}-3y)*\frac{1}{(xy^{2}+1)} * 2y \end{eqnarray*}$

1. Ableitung nach y=-2

$\begin{eqnarray*} =-3*ln(-2x^{2}+1)+(x^{2}+6)*\frac{1}{(-2x^{2}+1)} * -4 \end{eqnarray*}$

so besser???

20.01.2012, 00:33

Dopap

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Zitat:

Original von Nerd1989
1.Ableitung nach x

$\begin{eqnarray*} =2x*ln(xy^{2}+1)+(x^{2}-3y)*\frac{1}{(xy^{2}+1)} *\color{red}{ 2x} \end{eqnarray*}$

1. Ableitung nach y

$\begin{eqnarray*} =-3*ln(xy^{2}+1)+(x^{2}-3y)*\frac{1}{(xy^{2}+1)} * \color {red}2y \end{eqnarray*}$

besser???

ja, etwas besser, aber noch falsch

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial}{\partial x}f(x,y)=2x\cdot \ln(xy^{2}+1)+(x^{2}-3y)\cdot\frac{y^2}{(xy^{2}+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial}{\partial y}f(x,y)=-3 \ln(xy^2+1)+(x^2-3y)\cdot \frac {2xy}{xy^2+1} \end{eqnarray*}$

wo nimmst du nur 2x bezw. 2y her?

21.01.2012, 17:05

Nerd1989

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Dankeschön für die Hilfe

Das ist die innere Ableitung bei der Kettenfunktion, also von (xy^2+1).

Eine Variable fällt weg, je nachdem wonach abgeleitet wird. Muss auch ehrlich zugeben, ich verstehe nicht wie du das abgeleitet hast, also wie kommst du auf die Werte über dem Bruchstrich.

Bitte um Hilfe.

Danke :-)

21.01.2012, 17:52

Dopap

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Zitat:

Original von Nerd1989

Eine Variable fällt weg, je nachdem wonach abgeleitet wird.

Woher hast du denn diesen Unsinn??

Variable nach denen nicht abgeleitet wird, werden als Konstanten behandelt. Lehrer

23.01.2012, 22:32

Nerd 1989

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aber was ist dann mit den 3y aus der ersten Klammer bei der Ableitung nach x, warum sind die weg?

23.01.2012, 22:46

mimimi

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Weil "alleinstehende" Konstanten (nicht mit der Variablen verknüpft nach der du ableitest - hier x) bei der Ableitung zu Null werden. Stell dir anstatt "y" anfangs einfach eine Zahl vor - dann sollte es einfacher sein.

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