Existenz einseitiger Grenzwerte beweisen für f: [0,1] -> R

20.01.2012, 12:38	blubberwutz	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz einseitiger Grenzwerte beweisen für f: [0,1] -> R Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} f: [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ monoton wachsend. Wie beweist man: Für alle $\begin{eqnarray} a \in [0,1) \end{eqnarray}$ existiert der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to a^+} f(x) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich kann mir zwar vorstellen, dass dem so ist, habe aber keine Ahnung, wie ich einen solchen Beweis mit mathematischer Schreibweise führen kann.
21.01.2012, 14:24	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte zunächst eine monoton fallende Folge $\begin{eqnarray} x_n\downarrow a \end{eqnarray}$ (dieses a+ bedeutet doch rechtsseitiger Grenzwert? Sonst nehme monoton steigende von links). Zeige, dass $\begin{eqnarray} f(x_n) \end{eqnarray}$ konvergiert. Nun zeige, dass für je 2 monotone Folgen $\begin{eqnarray} x_n,x_n'\downarrow a \end{eqnarray}$ die Folgen $\begin{eqnarray} f(x_n),f(x_n') \end{eqnarray}$ den gleichen Grenzwert haben. Überlege dir, dass eine beliebige Folge $\begin{eqnarray} x_n\downarrow a \end{eqnarray}$ immer eine monotone Teilfolge hat, und beweise damit, dass auch für eine solche Folge die Folge $\begin{eqnarray} f(x_n) \end{eqnarray}$ den gleichen Grenzwert hat (mit beschränkt und es gibt genau einen Häufungspunkt).
24.01.2012, 16:34	prolog	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, das geht doch bestimmt auch eleganter. Ich habe es mit der Definition des Grenzwertes (Epsilon-Umgebung) probiert bin bisher aber nicht sehr erfolgreich gewesen. Geht es damit überhaupt? Oder ist das von vornherein zum Scheitern verurteilt?
24.01.2012, 17:36	heinrichdererste	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man den Beweis überhaupt ohne Folgen und mit Epsilon-Delta-Umgebung führen?
24.01.2012, 20:13	heinrichdererste	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht! Habs hinbekommen.

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