Indikatorfunktion innerhalb eines Integrals

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dj_mathe Auf diesen Beitrag antworten »
Indikatorfunktion innerhalb eines Integrals
Hallo!

Ich habe eine Frage zum Rechnen mit der Indikator Funktion:

Und zwar habe ich eine 2-dimensionale Dichte:

für

Der Bereich, der dann ungleich 0 ist, sieht dann ja so aus:
[attach]22753[/attach]

Wenn ich jetzt die Randverteilungsdichte berechnen möchte, muss ich ja die Verbundverteilungsdichte über alle integrieren:




Ich benutze die Indikatorfunktion gern um sie mit der eigentlichen Funktion zu multiplizieren, damit ich beim Integrieren
nicht immer auf die Grenzen von anderen Variablen, die in dem Schritt nicht integriert werden, achten muss.
Mir passiert es häufig, dass wenn ich dies nicht tue, ich am Ende zu einem Ergebnis komme, aber vergesse, den Wertebereich anzugeben...

Wenn ich jetzt aber die Dichte samt der Indikatorfunktionen für den X- und Y-Bereich in das Integral schreibe, steht da ja folgendes:











Das ist aber ja offensichtlich nicht korrekt, da ich ja abhängig von y bei x nicht von Null an sondern von y bis 1 Integrieren muss.

Also:






Was das richtige Ergebnis wäre. Wo liegt der Denkfehler? Liegt es daran, dass man eine Indikatorfunktion mit einem x in der Grenze nicht aus einem Integral über x rausziehen darf?

Christoph
ThomasL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Indikatorfunktion innerhalb eines Integrals
Zitat:
Original von dj_mathe
Liegt es daran, dass man eine Indikatorfunktion mit einem x in der Grenze nicht aus einem Integral über x rausziehen darf?


genau, der Fehler war beim Schritt, wo vor das Integral genommen wurde.
dj_mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie behandle ich innerhalb des Integrals? Erstmal sieht das für mich wegen des Argumentes aus wie f(y). Aber ein x kommt ja auch drin vor. Deswegen ist es irgendwie logisch, dass man es nicht raus ziehen darf...
Aber was mache ich damit?

Christoph
ThomasL Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du das Integral wirklich so berechnen willst, dann anders darstellen (für festes ): Es gilt ja ...

Natürlicher wäre, den Bereich anders rum zu parametrisieren (so wie du es beim zweiten Weg auch gemacht hast). Mit Indikatorfunktionen etwa so:
Sei . Die andere Parametrisierung ist dann , und somit

Der Vorteil dieser Darstellung ist, dass die Integrationsvariable nun nicht mehr in den Intervallen der Funktionen steht.
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