Matrix mit bestimmtem charakteristischem Polynom finden

20.01.2012, 13:43

lissy1990

Matrix mit bestimmtem charakteristischem Polynom finden

Meine Frage:
Hallo liebe Community,

ich habe die Aufgabe, zu zeigen, wie man aus einem bestimmten charakteristischem Polynom eine Matrix finden kann die eben dieses charakteristische Polynom besitzt (am Beispiel einer 3x3-Matrix). Die Diagonalmatrix ist dabei ausdrücklich ausgenommen.

Meine Ideen:
Durch Ausprobieren bin ich darauf gekommen, dass man bei einem charakteristischen Polynom der Form $\begin{eqnarray*} - \lambda ³ + a \lambda ² + b \lambda + c \end{eqnarray*}$ die Faktoren a,b,c in die erste Zeile der Matrix schreibt. Man schreibt nun nun 1 in der ersten Spalte, zweite Zeile und in der zweiten Spalte, dritte Zeile, um wieder auf dieses Polynom zu kommen. Also habe ich nun diese Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b & c \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber ich bin eben leider nur durch Ausprobieren darauf gekommen, suche aber noch nach einer Begründung, warum das funktioniert.

Ich wäre dankbar, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte!

Liebe Grüße.
Lisa

21.01.2012, 03:20

wdposchmann

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RE: Matrix mit bestimmtem charakteristischem Polynom finden
Hi,

also wenn du für das charakteristische Polynom den allgemeinen Ansatz $\begin{eqnarray*} \chi_A (\lambda) = det(A-E\lambda) \end{eqnarray*}$ wählst, dann lässt sich durch Berechnen des Polynoms einer 3x3-Matrix zeigen, dass es unabhängig von den Einträgen der Matrix mit $\begin{eqnarray*} -\lambda^3 \end{eqnarray*}$ beginnt.

Naja und jetzt hast du ja eine Vermutung aufgestellt. Um diese zu zeigen, musst du einfach das charakteristische Polynom der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \pm a & \pm b & \pm c \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ berechnen uns kommt dann auf dein Ergebnis.

Meiner Ansicht nach sollte das dann reichen.

Liebe Grüße

23.01.2012, 11:23

lissy1990

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was ich nicht so ganz verstehe ist hier, wie man gerade auf diese matrix kommt ( warum zb gerade a,b,c oben ?)
lg lisa

23.01.2012, 17:06

wdposchmann

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Hi,

Zitat:

was ich nicht so ganz verstehe ist hier, wie man gerade auf diese matrix kommt ( warum zb gerade a,b,c oben ?)

Naja, das war doch deine Vermutung!? Es ist in der Mathematik keine seltene Vorgehensweise, die Lösung einer Aufgabe erst durch Ausprobieren zu vermuten und dann zu beweisen (letzteres ist dann natürlich immens wichtig, denn nur etwas zu vermuten ist wertlos).

Es gibt für die dir gestellte Aufgabe nicht nur eine Lösung, da ein charakteristisches Polynom zu mehreren Matrizen gehören kann. So haben z.B. die folgenden Matrizen beide das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} -\lambda^3 + 3\lambda^2 - 3\lambda + 1 = (\lambda-1)^3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$ . Und diese beiden haben die Koeffizienten a, b und c eben nicht in der ersten Zeile stehen. Du siehst also, dass es unzählige Möglichkeiten gibt, von einem char. Pol. auf eine 3x3-Matrix zu schließen und du sollst eine davon zeigen, was du dadurch tust, deine Vermutung nachzurechnen und zu zeigen.

LG

29.01.2012, 22:50

lissy1990

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Hey, ich wollte mich nur nochmal melden und Danke sagen! smile

lg
Lisa

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