Nachweis/beweis für vektorraumisomorphismus

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arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis/beweis für vektorraumisomorphismus
Meine Frage:
Wie weise ich einen Isomorphismus nach?



....ich gehe gerade mein LA-Skript durch und scheitere am Bewis dieses Isomorphismus.

Meine Ideen:
Isomorphismus bedeutet:

ich habe Bijektivität und Linearität als eine homomorphe Abbildung.

Wie man dies bei Vektorabblidungen nachweist ist mir klar, nur habe ich Probleme mir das bei Matrizen vorzustellen.

Kann mir jmd die Bijektivität zeigen? =)

Danke im Voraus
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das was du hingeschrieben hast ist keine Abbildung.
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry...da gehört ein ":" vor das M.

Was genau bedeutet das Fm,n?
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

Bzw. Was genau bedeutet ?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das : meine ich nicht. Du hast vergessen die Abbildungsvorschrift hinzuschreiben.

Oder lautet die Aufgabe etwa:
Finde einen Isomorphismus, oder zeige die Isomorphie der beiden Räume?
Der Index von soll wohl darauf hinweisen, dass die Abbildung von m,n abhängig ist.
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde dir gerne ein stück unseres skriptes kopieren, wenn ich nur wüsste, wie es geht.

ich hänge mal eine datei mit einem ausschnitt unseres skriptes an:
 
 
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

"Die definierte Zuordnung ist ein Vektorrausisomorphismus." Mit dieser Aussage kann ich wenig anfangen. Wie kann man zeigen, dass es sich in der Tat um einen Isom. handelt?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe dir ist bewusst das jede Abbildung eine Abbildungsvorschrift braucht. Die Abbildungsvorschrift für diese Abbildung steht genau über Satz 3.4.
Die einer Matrix zugeordnete Abbildung ist:


Und jetzt auf:
linear, injektiv, surjektiv.

Edit: Bitte unterlasse das ständige doppelposten. Überlege dir entweder vorher was du alles sagen willst oder nutze den Edit-Button. Bei Doppelposts übersehe ich gerne mal was, insbesondere wenn du einen schreibst während ich gerade antworte.
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, mein Fehler.
Gut also die Abbildungsvorschrift ist klar.
x aus dem Def.bereich wird mit einer Matrix A multipliziert.
Mich verwirrt jedoch die Schreibweise bzw. .

Wie lese ich die Zeilen zwischen Satz 3.4 und "Beweis"?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn f eine Abbildung ist,was ist dann f(x)?
ist Abbildung, A wird abgebildet...
Bedenke das deine Abbildung hier ist:


die Abbildung bildet eine Matrix auf eine Abbildung ab. Das ist aber relativ wurscht, sind beide Vektorräume.

Zitat:
Wie lese ich die Zeilen zwischen Satz 3.4 und "Beweis"?

So wie sie dastehen? Das ist eine Eigenschaft die dieses hat.
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) ist dann folglich ein Funktionswert.
Im Falle wäre f(x)=

...wie meinst du das...A wird abgebildet?

Ist unter eine Matrix zu verstehen oder eine Abbildung von die mithilfe von der Matrix A vollzogen wird?

Wie zeige ich nun Isomophie der Abb. ?
So wie ich es verstehe wird doch einer Matrix eine Abbildung zugeordnet. Abbildungen lasse sich als Matrizen darstellen. Ist es also eine Abbildung von einer Matrix auf eine andere?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
So wie ich es verstehe wird doch einer Matrix eine Abbildung zugeordnet. Abbildungen lasse sich als Matrizen darstellen. Ist es also eine Abbildung von einer Matrix auf eine andere?

Den ersten Satz habe ich im Post vorher eigentlich schon geschrieben.
Der Satz ist genau das was du hier zeigen sollst:
Jeder Matrix wird genau eine lineare Abbildung von nach zugeordnet. Sprich: jede lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Abbildungen ist durch eine Matrix gegeben.

Zitat:

Das ist richtig.
Zitat:

Das ist das Bild obiger Abbildung. Als solches kein Element sondern ein Vektorraum.
Zitat:
Ist unter eine Matrix zu verstehen oder eine Abbildung von K^{n}\to K^{m} [/latex] die mithilfe von der Matrix A vollzogen wird? [/latex]

Wie du doch schon oben gschrieben, ist das eine Abbildung, also letzteres.

Du solltest dir nochmal klar machen was die ganzen Objekte in diesem Beweis eigentlich alle sind.
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

genau das fällt mir schwer, da wir das nirgends angegeben haben!
Vor allem und machen mir zu schaffen. Was ist der Unterschied zwischen diesen Objekten?

...ich glaube das ist der Knackpunkt zum Verständnis.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist klar angegeben und ich habe das auch jeweils schon geschrieben.
ist eine Abbildung, und zwar vom Raum der Matrizen in den Raum der lineraen Abbildungen.
ist das Bild von A unter obiger Abbildung. Es ist wiederrum eine Abbildung, diesmal von nach
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhh...jetzt glaube ich es verstanden zu haben!!!

Also: ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man in der Abbildung für [latex]M_{m,n}[latex\]=A einsetzt. Richtig?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst wohl das richtige, aber das

ist grober Unfug. bezechnet die Menge aller -Matrizen, A ist eine davon. Diese zwei Sachen sind nicht gleich, nicht einmal vergleichbar. Letzteres ist ein Element von Ersterem.
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