Abstand einer kompakten und einer abgeschlossenen Menge

20.01.2012, 17:14

Supremacy

Abstand einer kompakten und einer abgeschlossenen Menge

Gegeben sind zwei disjunkte Mengen A und B eines metrischen Raumes (X,d). A ist abgeschlossen und B ist kompakt, man soll zeigen, dass dann dist(A,B)>0 ist, wobei $\begin{eqnarray*} dist(A,B):=inf{d(a,b)|a\in{A},b\in{B} \end{eqnarray*}$ .

Mir fällt es relativ schwer, aus den Begriffen überhaupt etwas zu schließen... erst mal zu den Definitionen von 'abgeschlossen' und 'kompakt'.
Abgeschlossen heißt, dass die Menge alle ihre Häufungspunkte enthält.
Kompakt heißt, dass jede Folge in der Menge einen Häufungswert, d.h. eine konvergente Teilfolge, hat.

Ich hatte nun versucht, von dist(A,B)=0 auszugehen und das zum Widerspruch zu führen, doch mir ist nicht ganz klar, wie ich diese Bedingung überhaupt sinnvoll umformulieren könnte, sodass ich da irgendwie Folgen ins Spiel bringen kann... kann mir jemand helfen?

20.01.2012, 17:17

Supremacy

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Hab offenbar nen Fehler bei Latex gemacht, sorry. Hier nochmal korrekt:
$\begin{eqnarray*} dist(A,B):=inf(d(a,b)|a\in{A},b\in{B}) \end{eqnarray*}$

20.01.2012, 22:31

juffo-wup

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Mit dem Ansatz d(A,B)=0, wähle dir 2 Folgen in A bzw. B, die das Infimum realisieren. Die Folge mit Elementen in B hat einen Häufungspunkt. Dieser muss in B (kompakte Mengen sind abgeschlossen), aber auch in A liegen. Widerspruch zur Disjunktheit.

20.01.2012, 23:27

Supremacy

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Wie würde ich das dann formal notieren?
$\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n)<\epsilon \end{eqnarray*}$ für beliebig kleine positive Epsilon und hinreichend großes n...?
Mir ist auch leider noch nicht ganz klar, wieso der Häufungspunkt der B-Folge in A liegen muss. Also es ist irgendwie anschaulich klar, aber wie wäre das zu begründen? Vllt dadurch, dass sich die beiden Folgen ja sozusagen beliebig nahe kommen, also findet sich in jeder Umgebung des Häufungspunktes auch ein Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , wodurch der Punkt quasi auch ein Häufungspunkt der Folge in A sein müsste?

20.01.2012, 23:48

juffo-wup

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Zitat:

Original von Supremacy
Wie würde ich das dann formal notieren?
$\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n)<\epsilon \end{eqnarray*}$ für beliebig kleine positive Epsilon und hinreichend großes n...?

Ja. Bzw. das ist dann erfüllt; um die a und b zu definieren, sage du nimmst an und bn mit d(an,bn)<1/n oder so.

Zitat:

Mir ist auch leider noch nicht ganz klar, wieso der Häufungspunkt der B-Folge in A liegen muss.
Also es ist irgendwie anschaulich klar, aber wie wäre das zu begründen? Vllt dadurch, dass sich die beiden Folgen ja sozusagen beliebig nahe kommen, also findet sich in jeder Umgebung des Häufungspunktes auch ein Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , wodurch der Punkt quasi auch ein Häufungspunkt der Folge in A sein müsste?

Genau, damit ist er auch HP von Elementen in A und somit wegen der Abg. von A selbst in A.

21.01.2012, 00:59

Supremacy

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Danke für die Hilfe. smile

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