Maximalvolumen eines Quaders

20.01.2012, 19:04	Jason90	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximalvolumen eines Quaders Meine Frage: Gesucht ist das Maximalvolumen eines Quaders, desses Raumdiagonale $\begin{eqnarray} 2\sqrt{3} \end{eqnarray}$ groß ist. Meine Ideen: Ist mein Ansatz bzw. Lösung richtig? Dachte das, dass Volumen beim Sonderfall Würfel maximal sei. $\begin{eqnarray} <br /> d=a\sqrt{3}<br /> \Rightarrow a=2<br /> V=a^3\Rightarrow V=8 VE<br /> \end{eqnarray}$
20.01.2012, 19:20	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximalvolumen eines Quaders Hmm, scheint mir ein bisschen schlicht für eine Extremwertaufgabe... Andererseits: Wenn es keine sonstigen Angaben gibt, sehe ich auch nicht, wie man anders zum Ziel kommen kann. Man bräuchte noch einen weiteren Wert, um den typischen Weg mit HB, NB und Ableitung gehen zu können. Soll der Quader vielleicht eine quadratische Grundfläche haben?
20.01.2012, 19:30	Jason90	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir auch nicht vorstellen das dies der Sinn der Aufgabe ist. Evtl. jemand noch eine Idee?
21.01.2012, 09:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht ist genau das der Sinn, was du so leichthin als selbstverständlich annimmst: zu zeigen, daß das maximale Volumen bei einem Würfel angenommen wird.
21.01.2012, 11:40	Jason90	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre der Ansatz um dies zu zeigen?
21.01.2012, 12:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ die Seiten des Quaders, dann ist $\begin{eqnarray} V = xyz \end{eqnarray}$ sein Volumen. Man darf $\begin{eqnarray} x,y,z>0 \end{eqnarray}$ annehmen. Nach Aufgabenstellung besteht die Nebenbedingung (Raumdiagonale eines Quaders) $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 + z^2 = 12 \end{eqnarray}$ Du kannst zum Beispiel nach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auflösen und das oben einsetzen. Dann bekommst du $\begin{eqnarray} V = V(x,y) \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ . Gib zunächst einen sinnvollen Definitionsbereich dieser Funktion an. Um Wurzeln zu vermeiden, kannst du auch das Quadrat betrachten: $\begin{eqnarray} f(x,y) = \left( V(x,y) \right)^2 \end{eqnarray}$ Denn für positive Größen (das sind $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ ), also auch $\begin{eqnarray} V = xyz \end{eqnarray}$ , ist das Quadrieren ein streng monotoner Prozeß. $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ wird daher an denselben Stellen maximal wie $\begin{eqnarray} V^2 \end{eqnarray}$ .
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