Hypothesentest

20.01.2012, 19:24

loyloep

Hypothesentest

Es werden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängige Stichproben $\begin{eqnarray*} x_1, ..., x_n \end{eqnarray*}$ aus der Gleichverteilung auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\nu] (\nu > 0) \end{eqnarray*}$ gezogen. Dabei soll der Test $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} H_0: \nu = 1 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} H_1: \nu \neq 1 \end{eqnarray*}$ durchgeführt werden, wobei der Annahmebereich als $\begin{eqnarray*} A = \brace((x_1, ..., x_n): \frac{1}{2} < \operatorname{max}(x_1, ..., x_n) \leq 1 \rbrace \end{eqnarray*}$ festgelegt wird. Stellen Sie die Gütefunktion $\begin{eqnarray*} G_{\phi} (\nu) \end{eqnarray*}$ auf. Welches Niveau hat der Test?

Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} [0,\nu] (\nu > 0) \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilt, es gilt also für die Dichtefunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\nu}, & \text{für} \quad 0 \leq x \leq \nu \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

und für die Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F(x)=P(X \leq x) \begin{cases} 0, & \text{für} \quad x \leq 0 \\ \frac{x}{\nu}, & \text{für} \quad 0 <x < \nu \\ 1 & \text{für} \quad x \geq \nu \end{cases} \end{eqnarray*}$

Für die Gütefunktion erhalte ich damit:

$\begin{eqnarray*} G_{\phi} (\nu) &= P(H_0 \quad \text{ablehnen} \quad | \quad H_0 \quad \text{richtig}) \\ &= P(\operatorname{max}(x_1, ..., x_n) \in \mathbb R\backslash (\frac{1}{2}, 1] \quad | \quad \nu = 1)) \\ &= P(\operatorname{max}(x_1, ..., x_n) > 1 \quad | \quad \nu = 1) + P(\operatorname{max}(x_1, ..., x_n) \leq \frac{1}{2} \quad | \quad \nu = 1) \\ &= 1 - P(\operatorname{max}(x_1, ..., x_n) \leq 1 \quad | \quad \nu = 1) + P(\operatorname{max}(x_1, ..., x_n) \leq \frac{1}{2} \quad | \quad \nu = 1) \\ &= 1 - 1 + 0,5 = 0,5 \end{eqnarray*}$

Demnach wäre das Signifikanzniveau 0,5. Was mir sehr hoch vorkommt. Sieht jemand den Fehler?

20.01.2012, 19:59

Black

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RE: Hypothesentest
Edit: Sorry, hab mich verlesen.
Der Fehler liegt in der Berechnung von
$\begin{eqnarray*} P(\operatorname{max}(x_1, ..., x_n) \leq \frac{1}{2} \quad | \quad \nu = 1) \end{eqnarray*}$

Was muss gelten damit selbst das Maximum der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ kleiner ist als 0.5?

20.01.2012, 21:50

loyloep

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Ok. Mir fällt allerdings keine andere ein, um weiterzukommen.

21.01.2012, 21:49

loyloep

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RE: Hypothesentest

Zitat:

Original von Black

Was muss gelten damit selbst das Maximum der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ kleiner ist als 0.5?

Bei $\begin{eqnarray*} x_1, ..., x_n \end{eqnarray*}$ handelt es sich um eine zufällige Stichprobe. Ich steh auf dem Schlauch, ich sehe nicht was gelten muss damit $\begin{eqnarray*} max(x_1, ..., x_n) \leq 0,5 \end{eqnarray*}$ .

22.01.2012, 17:03

Black

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Wenn (selbst) das Maximum einer Menge von Zahlen, kleiner ist als $\begin{eqnarray*} 0.5 \end{eqnarray*}$ , was gilt dann für jede einzelne dieser Zahlen?

22.01.2012, 19:30

loyloep

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Ach so meinst Du das: Klar wenn das Maximum einer Menge von Elementen =< 1/2, dann sind natürlich alle anderen Elemente dieser Menge =< 1/2.

22.01.2012, 19:36

Black

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Genau, die Wahrscheinlichkeit dass nun alle der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ kleiner als 0.5 sind, beträgt aber nicht 0.5 - sondern was?

22.01.2012, 21:03

loyloep

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Zitat:

Original von Black

Genau, die Wahrscheinlichkeit dass nun alle der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ kleiner als 0.5 sind, beträgt aber nicht 0.5 - sondern was?

Das verstehe gerade nicht. Wie kommt man darauf?

22.01.2012, 21:05

Black

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Die Frage lautet, was ist $\begin{eqnarray*} P(X_1 \leq 0.5 ,...,X_n \leq 0.5) \end{eqnarray*}$
Das solltest du ausrechnen können

22.01.2012, 21:12

loyloep

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Also $\begin{eqnarray*} 0,5^n \end{eqnarray*}$ !?

22.01.2012, 21:13

Black

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