Lineare Gleichungen einer Variablen

15.01.2007, 13:23

dan-06

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Lineare Gleichungen einer Variablen

Hi, ich brauch mal wieder eure Hilfe!

1) Ermitteln Sie die Definitionsmenge folgender Terme:

a) 1/4x -3 (2x - 1)
b) x-2/3 (x + 1) - (2x + 3)

Hab da die Lösungen a) D=\1,5 b) D=\0

Stimmen die bzw könnte mir mal wer den Rechenweg erklären wie ich dadrauf richtig komme bin mir bei meinem Weg nicht sicher?

2) Lösen Sie die folgende Ungleichungen:

a) 1/3x + 1/2 > 1/2x - 2/3
b) 1/5 (x + 1/2 <= 5/6 - x

bei a müsste x < 7 oder x > 7 raus kommen <- weis nicht welches von den beiden richtig ist villt hab ich was falsches gedreht?
und bei b müsste laut lehrer x <= 11/18 raus kommen auf diese Zahl komme ich gar nicht bitte um erklärung!

3) Läsen Sie die folgenden Gleichungen unter angabe der Defintionsmege

a) 4/x - 1 = 3/x + 1
b) x - 1/x = x + 1/x - 1
c) 1/2 + 1/x = 3x + 2/6x - 3

Hier hab ich absolut keine Ahnung wie ich Auflösen soll?

4) Beweisen Sie: Die Subtraktion eines beliebigen Terms auf beiden Seiten einer Gleichung ist eine Äquivalenzumformung.

Wie soll das gehen, wie stellt man sowas am besten da?

Aufjedenfall schon mal Vielen Dank!!!

bin gespannt auf eure Tipps.

15.01.2007, 13:38

RS

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Zitat:

1) Ermitteln Sie die Definitionsmenge folgender Terme:

a) 1/4x -3 (2x - 1)
b) x-2/3 (x + 1) - (2x + 3)

Hab da die Lösungen a) D=\1,5 b) D=\0

Schreibe die Funktion bitte nochmal in Latex. Gehe davon aus das alles nach dem Bruchstrich darunter gehört oder??

Also wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4x -3 (2x - 1)} \end{eqnarray*}$

Dann wäre D ungleich 1,5 richtig Freude

Freude

Beim zweiten übrigens auch Freude

Freude

Wie du drauf kommst?

Damit eine Zahl für die Definitionsmenge nicht definiert ist muss der Nenner 0 werden. Denn Division durch 0 ist ja bekannter maßen nicht definiert.

Beim ersten muss also 4x-3(2x-1)=0 gelten. Das ist genau bei 1,5...

Beim zweiten genauso... Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.01.2007, 13:42

dan-06

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genau alles unterm / ist unterm bruchstrich

15.01.2007, 13:46

RS

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Dann sind beide Lösungen richtig... für Lösungsansatz siehe mein erster Beitrag...

Nun zur nächsten Aufgabe:

a) 1/3x + 1/2 > 1/2x - 2/3
b) 1/5 (x + 1/2 <= 5/6 - x

Diese Angabe ist nicht eindeutig also bitte in Latex schreiben außer meine Vorschläge sind schon richtig.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3x} + \frac{1}{2} > \frac{1}{2x} - \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} > \frac{1}{2}x - \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Bei b) kann ich gar nicht durchblicken, denn die Klammer geht auf aber nicht wieder zu.. Bitte setze ausreichende Klammern..

15.01.2007, 13:52

dan-06

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Das zweite ist richtig

bei b)

\frac{1}{5} \begin{pmatrix} x + \frac{1}{2}\end{pmatrix} \leq \frac{5}{6} - \times

nur das unter dem < ein gleichheitszeichen ist

15.01.2007, 13:57

RS

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} x + \frac{1}{2}\end{pmatrix} \leq \frac{5}{6} -x \end{eqnarray*}$ .

Also erstmal Multiplizierst du die erste Klammer aus. Also sieht das ganze dann wie folgt aus.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}x+\frac{1}{10} \leq \frac{5}{6} -x \end{eqnarray*}$

Nun einfach die x auf eine Seite bringen und den Rest auf die andere.

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15.01.2007, 13:58

dan-06

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} x + \frac{1}{2}\end{pmatrix} \leq \frac{5}{6} - \times \end{eqnarray*}$

15.01.2007, 14:05

RS

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Wenn du die x auf eine Seite bringst und die "normalen Zahlen" auf die andere kommt irgendwann x<=11/18 heraus...

siehe mein Beitrag davor...

15.01.2007, 14:12

dan-06

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also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \times + \frac{1}{10} \leq \frac{5}{6}- \times | -\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \times \leq \frac{11}{15}- \times | + \times \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\frac{1}{5} \leq \frac{11}{15} | :1 \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \times \leq \frac{11}{18} \end{eqnarray*}$

so?

15.01.2007, 14:14

RS

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ja...

Freude

Nur statt 1 Ganzes 1/5 macht sich 6/5 besser... aber das ist nur was Formales für die Umformung.

15.01.2007, 14:17

dan-06

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aber das schon richtig das das zeichen $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ist und nicht $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ? es ist ja ne Ungleichung wird da das zeichnen nicht verändert?

15.01.2007, 14:19

RS

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Das ändert sich nur wenn du Reziproke bildest oder mit -1 multiplizierst (das sind die wichtigsten Regeln meines Erachtens)

Aber das wird ja hier nicht vorgenommen.

15.01.2007, 14:38

dan-06

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so noch mal die aufgabe 3 in Latex

a) $\begin{eqnarray*} \frac{4}{x-1} = \frac{3}{x+1} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x} = \frac{x+1}{x-1} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}+\frac{1}{x} = \frac{3x+2}{6x-3} \end{eqnarray*}$

15.01.2007, 14:44

RS

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Hier kannst du jeweils die Nenner kreuzmultiplizieren...

Also bleibt bei der a) dann z.B. 4(x+1)=3(x-1)

Nun kannst du denke ich alleine weiter auflösen...

Zu den Definitionsmengen... wieder die Nenner betrachten und dann aufschreiben für welche x der Nenner null wird.

15.01.2007, 14:51

dan-06

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Zitat:

Original von RS
Hier kannst du jeweils die Nenner kreuzmultiplizieren...

Also bleibt bei der a) dann z.B. 4(x+1)=3(x-1)

Nun kannst du denke ich alleine weiter auflösen...

Zu den Definitionsmengen... wieder die Nenner betrachten und dann aufschreiben für welche x der Nenner null wird.

dann kommt bei a) x = 7 raus?

und wie schreiben ich b) und c) hin damit ich auflösen kann?

15.01.2007, 14:59

RS

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a) x=-7

Bei den nächsten Aufgaben musst du es leider selber machen, da ich erstmal weg muss... Einfach die Beiden Nenner multiplizieren ich machs mal an einem ausführlichen Beispiel (b)).

b) $\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x} = \frac{x+1}{x-1} \end{eqnarray*}$

Nun den ersten Nenner jeweils äquivalent (auf beiden Seite also) multiplizieren

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x}\cdot (x-1) = \frac{x+1}{x-1} \cdot (x-1) \end{eqnarray*}$

Nun kürzt sich das (x-1) ja im zweiten Term weg.

Also bleibt dann $\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x}\cdot (x-1)= x+1 \end{eqnarray*}$

Nun noch den Nenner des ersten Terms multiplizieren, also bleibt dann.

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x}\cdot (x) \cdot (x-1)= (x+1)\cdot x \end{eqnarray*}$

Wie gerade ebend auch, kürzt sich nun im ersten Term das x weg also bleibt dann endgültig zum Auflösen.

$\begin{eqnarray*} (x-1) \cdot (x-1)= (x+1)\cdot x \end{eqnarray*}$

So kannst du bei jeder gleichung vorgehen... Bis heute Abend

PS:// Vielleicht kann ja jemand anders an der Stelle weiterführen.

15.01.2007, 15:13

dan-06

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nette Gleichung :P soll man da noch was rechnen können? bzw was die lösung x=-1 oder x=1?

15.01.2007, 15:48

TommyAngelo

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weder noch

Die linke Seite ist doch eine binomische Formel: $\begin{eqnarray*} (x-1)² \end{eqnarray*}$
Rechts kannst du ausmultiplizieren.

15.01.2007, 15:57

mYthos

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Zitat:

Original von dan-06
nette Gleichung :P soll man da noch was rechnen können?
...

Na und ob! Multipliziere das mal aus und löse ganz normal auf! (Tipp: x^2 fällt weg)

mY+

15.01.2007, 16:11

dan-06

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also

$\begin{eqnarray*} (-1x)^{2} \cdot (1)^{2} = (x+1) \cdot x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1x +1 = 1x | -1x|-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x = -1 | :-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = 0,5 \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

15.01.2007, 16:21

mYthos

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nein. Links: Binomische Formel! $\begin{eqnarray*} (a - b)^2 = .. \ \end{eqnarray*}$ .., rechts gliedweise ausmultiplizieren!

$\begin{eqnarray*} (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \end{eqnarray*}$

mY+

15.01.2007, 16:52

TommyAngelo

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Zitat:

Original von TommyAngelo
weder noch

Die linke Seite ist doch eine binomische Formel: $\begin{eqnarray*} (x-1)² \end{eqnarray*}$
Rechts kannst du ausmultiplizieren.

warum dann also nicht auf mich hören, mythos hätte mich bestimmt verbessert, so gut wie er sich auskennt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.01.2007, 17:20

dan-06

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$\begin{eqnarray*} \times +1\cdot -1\times +1=\times +1\times \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \times +2=2\times |-2x|-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2\times = -2|:-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \times = 1 \end{eqnarray*}$

glaub zwar das es immer noch falsch ist aber ich steig da gerade echt nicht durch unglücklich

unglücklich

15.01.2007, 17:25

TommyAngelo

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rechne doch mal $\begin{eqnarray*} (x-1)² \end{eqnarray*}$ aus. Da kommt mit Sicherheit nicht das raus, was du geschrieben hast. Und die rechte Seite stimmt auch nicht.

15.01.2007, 17:31

dan-06

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Zitat:

Original von TommyAngelo
rechne doch mal $\begin{eqnarray*} (x-1)² \end{eqnarray*}$ aus. Da kommt mit Sicherheit nicht das raus, was du geschrieben hast. Und die rechte Seite stimmt auch nicht.

also ich weis das $\begin{eqnarray*} (x-1)² \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x-1)*(x-1) \end{eqnarray*}$ ist und raus kommen müsste da ja 1 ... -1²...

15.01.2007, 17:55

TommyAngelo

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ich sag dir mal was rauskommt.
$\begin{eqnarray*} x²-2x+1=(x+1)x \end{eqnarray*}$
Noch nie etwas von einer binomischen Formel gehört?

15.01.2007, 17:58

dan-06

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Zitat:

Original von TommyAngelo
ich sag dir mal was rauskommt.
$\begin{eqnarray*} x²-2x+1=(x+1)x \end{eqnarray*}$
Noch nie etwas von einer binomischen Formel gehört?

doch aber das letzte mal als ich 14 war und das sind schon paar jahre her

15.01.2007, 18:14

derkoch

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Zitat:

Original von TommyAngelo
ich sag dir mal was rauskommt.
$\begin{eqnarray*} x²-2x+1=(x+1)x \end{eqnarray*}$
Noch nie etwas von einer binomischen Formel gehört?

zu meiner zeit waren die binomischen formlen noch ganz anders! verwirrt

verwirrt

15.01.2007, 18:42

TommyAngelo

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Zitat:

Original von TommyAngelo
ich sag dir mal was rauskommt.
$\begin{eqnarray*} x²-2x+1=(x+1)x \end{eqnarray*}$
Noch nie etwas von einer binomischen Formel gehört?

So, das ist jetzt nur die Gleichung. Auf der linken Seite hab ich weitergerechnet, die rechte hab ich so stehen lassen. Noch mal:
$\begin{eqnarray*} (x-1)²=(x+1)x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x²-2x-1=(x+1)x \end{eqnarray*}$

verstanden?

15.01.2007, 19:39

dan-06

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Zitat:

Original von TommyAngelo

Zitat:

Original von TommyAngelo
ich sag dir mal was rauskommt.
$\begin{eqnarray*} x²-2x+1=(x+1)x \end{eqnarray*}$
Noch nie etwas von einer binomischen Formel gehört?

So, das ist jetzt nur die Gleichung. Auf der linken Seite hab ich weitergerechnet, die rechte hab ich so stehen lassen. Noch mal:
$\begin{eqnarray*} (x-1)²=(x+1)x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x²-2x-1=(x+1)x \end{eqnarray*}$

verstanden?

yep das klar jetzt aber jetzt mal weiter ausrechen Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.01.2007, 19:46

TommyAngelo

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$\begin{eqnarray*} x²-2x+1=x²+x \end{eqnarray*}$
das x² fällt auf beiden Seiten weg, also
$\begin{eqnarray*} -2x+1=x \end{eqnarray*}$
und das dürftest du jetzt lösen können.

16.01.2007, 11:09

dan-06

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Zitat:

Original von TommyAngelo
$\begin{eqnarray*} x²-2x+1=x²+x \end{eqnarray*}$
das x² fällt auf beiden Seiten weg, also
$\begin{eqnarray*} -2x+1=x \end{eqnarray*}$
und das dürftest du jetzt lösen können.

so

$\begin{eqnarray*} -2x+1=x| -x |-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3x=-1 | : -3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

wäre das nun so richtig?

16.01.2007, 13:48

mYthos

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Na also, jetzt hat's gefunkt!

mY+

18.11.2010, 15:10

Nistirk

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hallo,ich weiss das hier is schon sehr alt ^^..aber ich habe diese aufgaben im moment auch für die Hausaufgaben...ich verstehe nur gerade nicht wie man auf 11/15 kommt und letztendlich 11 / 18??? kann mich da mal bitte wer aufklären?

also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \times + \frac{1}{10} \leq \frac{5}{6}- \times | -\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \times \leq \frac{11}{15}- \times | + \times \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\frac{1}{5} \leq \frac{11}{15} | :1 \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \times \leq \frac{11}{18} \end{eqnarray*}$

18.11.2010, 23:48

mYthos

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Hallo Kristin Big Laugh

Big Laugh

,
also wie man Brüche subtrahiert, weisst du? Erst auf gemeinsamem Nenner bringen! Dann kann man die Zähler verarbeiten und zum Schluss manchmal noch kürzen.

$\begin{eqnarray*} \frac 5 {10} - \frac 1 6 = \frac {25 - 3}{30} = \ldots \end{eqnarray*}$

Und dann das Dividieren: Durch einen Bruch dividieren heisst mit dem Kehrwert (des Divisors) multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} \frac {11}{15} : \frac 6 5 = \frac {11}{15} * \frac 5 6 = \ldots \end{eqnarray*}$

Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner .. und kürzen!

Alles klar?

mY+

19.11.2010, 10:10

Nistirk

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oh gott ich bin echt zu blöde um sowas zu rechnen :-/ des ganze will einfach net in meinem kopf rein...

aber danke für diese erklärung

19.11.2010, 22:47

Nistirk

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oki hier die andere aufgabe...bin zwar ziemlich von überzeugt das diese ungleichung falsch gelöst worden is aber ich wollt es dennoch mal probieren smile

smile

1/3x + 1/2 > 1/2x - 2/3
= 1/3x > 1/2x -4/6
= 1/6x > - 4/6
x < -4/6

20.11.2010, 10:27

mYthos

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Du hast da drin 3 Fehler:

1)
- 2/3 - 1/2 sind NICHT - 4/6

2)
Das Relationszeichen wird NICHT umgedreht. Das müsste erst dann passieren, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst.

3)
Zum Schluss musst du beide Seiten mit 6 multiplizieren.
Aus x/6 > a/6 folgt x > a

mY+

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