Diagonalisierbarkeit überprüfen

20.01.2012, 21:43	Newbie...	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit überprüfen Hallo Forum, ich soll folgende Matrix auf Diagonalisierbarkeit prüfen, bzw zuerst Eigenwerte und die Vielfachheiten berechnen: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & i \\ 0 & 1 & 0 \\ -i & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zuerst habe ich das charakteristische Polynom berechnet, da kam ich auf: $\begin{eqnarray} P_{A(\lambda )}=-x^3+3x^2-2x \end{eqnarray}$ Als Eigenwerte habe ich daraus: $\begin{eqnarray} \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=2 \end{eqnarray}$ Die algebraische Vielfachheit ist also bei allen 1. Dann habe ich die Eigenräume berechnet: Für $\begin{eqnarray} \lambda_{1}=0 \end{eqnarray}$ habe ich: $\begin{eqnarray} (A-0E_{3})\vec{X}=\vec{0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} x_{1} + ix_{3} =0 \\ x_{2}=0 \\ -ix_{1}+x_{3}=0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus kriege ich die lineare Hülle: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann wäre die geometrische Vielfachheit ja ebenfalls 1. Für die anderen beiden Eigenräume kriege ich ebenfalls nur einen Vektor in der Basis, also ebenfalls die geom. Vielfachheit 1. Dann wäre A ja diagonalisierbar, lässt sich das irgendwie nachprüfen? MfG
20.01.2012, 23:29	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig. Was meinst du mit 'nachprüfen'? Wenn du eine Ähnlichkeitstrafo zu einer Diagonalmatrix willst, nimm die Matrix S, in deren Spalten die 3 Eigenvektoren stehen, bilde ihre Inverse und betrachte $\begin{eqnarray} SAS^{-1} \end{eqnarray}$

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