Teilmengen

21.01.2012, 08:08	Petermr	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmengen Meine Frage: Ich bräuchte dringend Hilfe bei der nachstehenden Aufgabe. Für die nachfolgende Teilmenge $\begin{eqnarray} X \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ sei stets $\begin{eqnarray} d_{X} (x,y) := \|x-y\| \end{eqnarray}$ . Jetzt soll ich schauen für $\begin{eqnarray} A \subset X \end{eqnarray}$ , ob A offen in [latex] (X, d_{X}) ist und ob A abgeschlossen in (X, d_{X})ist für den Fall a) X = [0,2], A = [0,1) Meine Ideen: Leider habe ich wirklich keine Idee, was ich hier machen muss. Deswegen bräcuhte ich Hilfe. Danke schon mal
21.01.2012, 09:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier geht es um die sogenannte Spurtopologie auf $\begin{eqnarray} X = [0,2] \end{eqnarray}$ . Am besten überlegt man sich zunächst, wie für $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ -Umgebungen $\begin{eqnarray} U_{\varepsilon}(x) \end{eqnarray}$ eines Punktes $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ aussehen. Dabei ist es wichtig, daß man $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ -Umgebungen in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ betrachtet, nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Nehmen wir zunächst $\begin{eqnarray} U_{0{,}5} \left( 0{,}75 \right) \end{eqnarray}$ . Das sind alle $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ (wichtig: $\begin{eqnarray} \in X \end{eqnarray}$ , nicht $\begin{eqnarray} \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , ich muß das immer wieder betonen!), die von $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ einen Abstand $\begin{eqnarray} < \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ besitzen. In einer Skizze siehst du sofort: $\begin{eqnarray} U_{0{,}5} \left( 0{,}75 \right) = \left( \frac{1}{4} , \frac{5}{4} \right) \end{eqnarray}$ Auch auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ bezogen wäre das eine $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ -Umgebung. Aber wie gesagt, darauf kommt es hier nicht an. Als nächstes nehmen wir $\begin{eqnarray} U_{0{,}5} \left( 0{,}25 \right) \end{eqnarray}$ . Das sind alle $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ , die von $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ einen Abstand $\begin{eqnarray} < \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ besitzen. Eine Skizze zeigt dir: $\begin{eqnarray} U_{0{,}5} \left( 0{,}25 \right) = \left[ 0 , \frac{3}{4} \right) \end{eqnarray}$ Auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ bezogen wäre $\begin{eqnarray} \left[ 0 , \frac{3}{4} \right) \end{eqnarray}$ keine $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ -Umgebung, auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ bezogen ist es aber schon eine. Beachte, daß $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ links bei $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ aufhört. Um nun zu entscheiden, ob $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ offen in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist, mußt du prüfen, ob du zu jedem $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ -Umgebung (bezüglich $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , wie oben beschrieben) finden kannst, die ganz zu $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ gehört. Mache dir erst Skizzen. Hinweis: Um anzugeben, daß man $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ -Umgebungen bezüglich $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ meint, sollte man vielleicht besser $\begin{eqnarray} U_{\varepsilon}^X (x) \end{eqnarray}$ statt nur $\begin{eqnarray} U_{\varepsilon}(x) \end{eqnarray}$ schreiben.
22.01.2012, 08:50	Marita	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du vielleicht mal zeigen, wie überhaupt so eine Aufgabe zu lösen ist? Ich hab nämlich auch ein Problem mit fast der gleichen Aufgabe. Wäre wirklich sehr nett, wenn mal jemand den Lösungsweg zeigen könnte.
22.01.2012, 19:55	Marita	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann denn niemand helfen??
22.01.2012, 20:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
schau hier
22.01.2012, 20:20	Marita	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber wie ist denn der Lösungsweg dieser Aufgabe. Die ist ja noch nicht ganz fertig. Könntest du das bitte mal zeigen? Ich hab nämlich auch ein Problem mit so einer Aufgabe
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22.01.2012, 20:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Frage zu entscheiden, ob $\begin{eqnarray} A = [0,1) \end{eqnarray}$ offen in $\begin{eqnarray} X = [0,2] \end{eqnarray}$ ist, mußt du schauen, ob zu jedem $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} U_{\varepsilon}^X(a) \subseteq A \end{eqnarray}$ . Ich verstehe nicht, warum du das nicht einfach einmal ausprobierst. Denn mein ganzer voriger Beitrag beschäftigt sich damit, diese $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ -Umgebungen anschaulich zu machen. Da hilft alles nichts. Du brauchst ein Blatt Papier und einen Bleistift. Und dann mußt du anfangen zu zeichnen ...

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