Wie beweise ich links/rechtstotalität bzw eindeutigkeit

21.01.2012, 10:43

Primin

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Wie beweise ich links/rechtstotalität bzw eindeutigkeit

Meine Frage:
Hey, habe eine Frage. Schreibe Freitag meine erste Klausur in der Uni und verstehe absolut nicht wie man die totalität bzw die eindeutigkeit (rechts, links) bei Relationen beweisen soll. hab eine Definition, verstehe die auch aber hab keine Ahnung wie ich die anwenden soll bzw wie ich damit einen Beweis aufschreiben kann.
Mal ein Beispielt für eine Relation:
R:={(a,b) E N x N | a=2b};
oder
R:={(a,b) E R+0 x R+0 | a=b²}; (dieses R+0 Soll die menge aller nicht negativen zahlen bedeuten)

Meine Ideen:
Ja bin mir nicht so ganz sicher. im äußersten notfall könnte man versuchen es zu zeichen und anhand der zeichnung versuchen abzulesen welche eigenschaften zutreffen.

21.01.2012, 11:04

Elvis

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Beide Beispiele sind nicht nur Relationen, sondern Funktionen, also linkstotal und rechtseindeutig. Die zweite ist bijektiv, also auch rechtstotal und linkseindeutig. Die erste ist nicht surjektiv, also nicht rechtstotal, dort wo sie definiert ist (auf 2*N) aber wieder vermöge der Division durch 2 eine Funktion, also linkseindeutig.
(Ganz ohne Zeichnung, was bei unendlich vielen Werten auch schwierig wäre. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

21.01.2012, 11:13

Primin

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wow. wenn du mir jetzt noch genau erklären kannst wie du das alles raus gefunden hast wäre ich super glücklich smile

smile

21.01.2012, 11:14

grafzahl123

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hi,
studierst du auch mathe in wuppertal?
zunächst mal zur linkstotalität:
die definition sagt ja: für alle $\begin{eqnarray*} a\in A\exists b\in B:aRb \end{eqnarray*}$ (aRb soll a steht in relation zu b bedeuten)

diese definition muss man jetzt auf die relation anwenden:
die relation, die wir betrachten ist ja $\begin{eqnarray*} a=b^2 \end{eqnarray*}$
um die linkstotalität zu zeigen musst du IMMER nach b umstellen, also:
$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{a} =b \end{eqnarray*}$
jetzt musst du gucken, ob du jedes element das aus der menge a kommt (R+0) einsetzen kannst und dann ein element aus b (auch R+0) bekommst.
dies ist der fall, da du aus jeder positiven reellen zahl die wurzel ziehen kannst und immer eine positive reelle zahl erhälst.
ich hoffe das hat n bissl weitergeholfen.
ich bin gerade am lernen,wenn ich die anderen 3 (rechtseindeutig,...) verstanden hab post ich auch gern den rest.

21.01.2012, 11:16

Primin

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Als hausaufgabe hatten wir ein ganzes Blatt von diesen Relationen. Vermute das in der Klausur auch eine ganze Menge von relationen dran kommen. dementsprechen muss ich bis freitag wissen wie man rausfindet welche eigenschaften gelten

21.01.2012, 11:18

Primin

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Ja. bzw aber Elemente der Mathematik in Wuppertal

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21.01.2012, 11:21

Primin

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muss ich das auch genauso machen bei einer relation wie:
R= {(x,y)E(NxN)|kgV(x,y)=x}
oder
R={(x,y)E(ZxZ)|y=x²-2}

21.01.2012, 11:34

grafzahl123

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ich auch, beim schwarz...
jetzt zu rechtseindeutig:
definition: für alle a aus A und für alle b,c aus B: aRb und aRc =>b=c
jetzt musst du genau wie beim ersten teil wieder gucken wie deine relation aussieht:
in deinem fall: $\begin{eqnarray*} a= b^2 \end{eqnarray*}$ , also:
aRb bedeutet: $\begin{eqnarray*} a= b^2 \end{eqnarray*}$ und aRc bedeutet: $\begin{eqnarray*} a= c^2 \end{eqnarray*}$

das kann man ja jetzt gleichsetzen und erhält:
$\begin{eqnarray*} c^2= b^2 \end{eqnarray*}$ daraus die wurzel ziehen und man hat:

$\begin{eqnarray*} \pm a= \pm b \end{eqnarray*}$
!!!dieses plus minus ist wichtig, das darf man nich vergessen!!!!
da b,c aus R+0 kommen gilt b=c , also rechtseindeutig.

versteht man das???

genau, das ist bei jeder relation das gleiche schema
das mit dem kgv(x,y)=x ist ja das gleiche wie yIx (y teilt x), is dann einfacher zu rechnen

21.01.2012, 11:53

Primin

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Gut für dieses beispiel versteh ich es...aber was müsste ich machenw enn es linkseindeutig wäre? bzw wie sähe der rechenschritt dann aus (bzw auch für rechtstotal) ?
die relation mitdem kgv bzw y|x....die reflexivität usw kann ich da ohne probleme bestimmen...aber wie muss ich denn da die totalität und eindeutigkeit bestimmen? da ist ja diesmal kein gleichheitszeichen sondern ein "geteilt"? heißt das ich mus dann für rechtseindeutigkeit einfach probieren ob y|x und x|z daraus folgt y|z ????

21.01.2012, 12:01

grafzahl123

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nein, für rechtseindeutig musst du zeigen, dass x in relation zu y steht, also: y|x und dass x in relation zu z steht, also: z|x und daraus musst du folgern, dass z=y gilt.
du musst dich wirklich immer nur an die definition, die ich dir gegeben hab halten. erst rausfinden was bei dir aRb und aRc bedeutet und dann zeigen, dass b=c ist. eigentlich ganz einfach :-)

linkseindeutig und rechtstotal folgt später noch als erklärung.

21.01.2012, 12:15

primin

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Ok dann bedanke ich mich schonmal für das bisherige und "freue" mich auf das kommende

21.01.2012, 12:58

Elvis

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Zitat:

Original von Primin
wow. wenn du mir jetzt noch genau erklären kannst wie du das alles raus gefunden hast wäre ich super glücklich smile

smile

Ganz einfach. Eine Funktion ist per Definition eine linkstotale rechtseindeutige Relation.
Definition: $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ heißt Funktion, wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ .
"zu jedem x"="linkstotal", "genau ein y"="rechtseindeutig".

21.01.2012, 14:36

grafzahl123

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und jetzt noch zu linkseindeutig und rechtstotal:

linkseindeutig: Def. für alle a,c aus A und b aus B: aRb und cRb => a=c
das heißt für die aufgabe: aRb bedeutet a=2b und cRb bedeutet c=2b. das kann man dann recht simpel gleichsetzen und erhält c=2b=a => c=a, somit wäre die linkseindeutigkeit gezeigt.

rechtsweindeutig: Def. für alle b aus B existiert a aus A: aRb
das heißt, dass man immer nach a auflösen muss, weil man eine aussage über a treffen will. das ist bei uns schon gegeben, wegen a=2b. jetzt muss man gucken ob du jedes b aus N einsetzen kannst und dadurch alle elemente a aus N erzeugt werden. das ist nicht der fall, da es kein b gibt, das a=1 erzeugt, also ist die relation nicht rechtseindeutig.

ich hoffe ich konnte dir n bisschen helfen. is ja noch ne woche zeit bis wir die klausur schreiben. da kann man ja noch viel lernen ;-)

21.01.2012, 14:44

Primin

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Also geholfen hat es auf jeden fall. vielen dank nochmals smile

smile

21.01.2012, 19:06

Primin

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hast du auch eine Lösung wieso die aufgabe e) f) g) linkstotal und e und g rechtseindeutig sind?
e)R.={(a,b)E Q x Q| a=2b}
f)R.={(a,b)E IP x N | b|a}
g)R.={(a,b)E IP x (N \{1}) | b|a }
wobei IP die menge aller Primzahlen ist

und noch eine kleine frage am rande...wie erkenne ich ob es sich um eine Abbildung handelt? und was ist dabei zu beachten wenn ich die Abbildung notiere?

22.01.2012, 09:33

primin

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du hast oben bei rechtseindeutigkeit geschrieben:
$\begin{eqnarray*} c^2= b^2 \end{eqnarray*}$ daraus die wurzel ziehen und man hat:

$\begin{eqnarray*} \pm a= \pm b \end{eqnarray*}$

sollte das nicht eher $\begin{eqnarray*} \pm c= \pm b \end{eqnarray*}$ oder wurzel(a)=b heißen?

22.01.2012, 10:02

grafzahl123

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wenn eine relation linkstotal und rechtseindeutig ist handelt es sich um eine abbildung. diese kann dann noch injektiv + surjektiv= bijektiv sein.
bei der notation einer abbildung muss man darauf achten, dass auch die mengen notiert werden von den du abbildest und auf die du abbildest, z.b.
$\begin{eqnarray*} \mathbb N ->\mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

ob ich die anderen heut noch schaff weiß ich nicht, aber bestimmt irgendwann in den nächsten tagen. kannst es ja erstma selbst probieren, geht vom prinzip genauso wie das andere beispiel: definition anwenden und gucken obs passt

22.01.2012, 20:34

grafzahl123

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stimmt, müsste -+c=-+b heißen

23.01.2012, 08:18

primin

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das war ein zeichen...ich fange an zu verstehen Hammer

Hammer

25.01.2012, 15:26

Primin

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Was ist jetzt eigentlich mit rechtstotalität? also linkstotal hattest du ja geschrieben immer nach b auflösen...muss ich dann bei rechtstotal immer nach a auflösen?

25.01.2012, 15:30

Primin

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also rechne gerade nochmal die probeklausur durch. bin bei 4(I) und da hab ich es so gemacht und für mich ergibt es sinn. da y|x ist x= y*v (also da nach a aufgelöst) dementsprechend rechtstotal und y= x/v (nach b afgelöst) ist meiner meinung nach auch möglich..also auch linkstotal

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