Polynom über Restklassenring multiplizieren

21.01.2012, 12:48	Lilalaune	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom über Restklassenring multiplizieren Meine Frage: Hallo ihr Lieben, ich stehe leider auf dem Schlauch bei meinen Übungsaufgaben, da u.a. das Problem im Seminar nicht ausreichend verdeutlicht wurde. Nun sollen wir uns defakto den Stoff für eine Ausfallstunde selbst erarbeiten, was mir schwer fällt. Ich soll u.a. das Produkt von f u. g (für $\begin{eqnarray} f,g \in Z_{6} [X] \end{eqnarray}$ ) bilden und dann den Grad des Polynoms angeben. f(X) = $\begin{eqnarray} 4X^{3} + 2X^{2} + 2X + 4 \end{eqnarray}$ g(X) = $\begin{eqnarray} 3X^{4} + 5X^{2} + 4X + 2 \end{eqnarray}$ Was passiert denn nun, wenn ich die beiden ausmultipliziere, mit den Potenzen und auch mit den Koeffizienten? Z.B. ist doch $\begin{eqnarray} 4X^{3} \end{eqnarray}$ mal $\begin{eqnarray} 3X^{4} \end{eqnarray}$ im normalen Zahlensystem $\begin{eqnarray} 12X^{7} \end{eqnarray}$ , aber doch nicht in Z6, oder? Dann müsste doch 12 zu 0 werden? Und die Potenz? Wird die zu $\begin{eqnarray} 7\equiv 1 \end{eqnarray}$ ? Oder muss man sie in Potenzen umschreiben, die kleiner als 6 sind und dann ähnlich einer Linearfaktorzerlegung sukzessive ausklammern? Dadurch sehe ich aber nicht den Grad des Polynoms. Und wass passiert, wenn z.B. $\begin{eqnarray} X^{3} X^{3} \end{eqnarray}$ steht: Wird das zu $\begin{eqnarray} X^{6} oder X^{0} \end{eqnarray}$ ?? Ich habe keinen rechten Plan und benötige unbedingt Hilfe...Habe mich schon durch sämtliche Uni-Skripte im www gelesen und werde einfach nicht fündig, wie ich damit umgehen soll Meine Ideen:* Siehe Beispiele im Text
21.01.2012, 13:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur die Koeffizienten werden modulo 6 gerechnet ( z.B. $\begin{eqnarray} 12\equiv 0(mod6) \end{eqnarray}$ ). Die Potenzen von X bleiben wie sie sind. Grund: Der Polynomring R[X] über einem Ring R ist die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen aus R. Die Sache mit X ist lediglich eine Schreibweise.
21.01.2012, 13:11	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du rechnest nur die Koeffizienten mod 6, d.h. 12X^7 wird zu 0. Die Exponenten bleiben unangetastet, d.h. $\begin{eqnarray} X^3\cdot X^3 \end{eqnarray}$ wird zu $\begin{eqnarray} X^6 \end{eqnarray}$ Wenn du dir mal die Definition des Polynomringes und insbesondere die Definition der Multiplikation anschaust, erkennst du selbst warum.
21.01.2012, 13:35	Lilalaune	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, das ist prima und so schnell geantwortet, vielen vielen Dank euch! Jetzt kann ich zum Glück weitermachen Bei der Nullstellenberechnung dieser Polynome setze ich dann auch einfach f(X) Null? Dann würde ich bspw. bei f(X) auf y=0 kommen, wenn X = 1 ist, denn $\begin{eqnarray} 4 + 2 + 2 + 4 = 12 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 12 \equiv 0 \end{eqnarray}$ ? Anschließend durch Polynomdivision auf Grad 2 kommen und mittels pq-Formel die beiden andern NS berechnen. Mal schauen, ob ich das auf die Reihe bekomme. Mein Gehirn verdreht sich förmlich bei Rechnungen in anderen Zahlensystemen..
21.01.2012, 14:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment mal, das ist etwas ganz anderes. Polynome sind eine Sache, Polynomfunktionen eine ganz andere. Polynomfunktionen über algebraisch abgeschlossenen Körpern haben genau so viele Nullstellen wie ihr Grad angibt. Für Polynomfunktionen über Ringen gilt das gar nicht. Wenn du dich hier für Nullstellen interessierst, brauchst du doch nur die Zahlen 0 bis 5 einsetzen.
21.01.2012, 14:34	Lilalaune	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, das ist interessant, danke für den Hinweis! Das heißt also, dass die X-Werte genauso wie deren Koeffizienten nur diese Werte annehmen können. Schön, das spart Zeit! Ich muss leider zugeben, dass meine Vorstellungskraft bezüglich Ringen, Körpern und dergleichen mehr als rar gesäht ist...
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21.01.2012, 18:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ungefähr kann man das ausdrücken, wir sprechen hier vom "Einsetzungshomomorphismus". Wenn $\begin{eqnarray} R\subset R' \end{eqnarray}$ eine Ringerweiterung ist und man die Unbestimmte $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ im Polynomring $\begin{eqnarray} R[X] \end{eqnarray}$ durch eine Variable $\begin{eqnarray} x\in R' \end{eqnarray}$ ersetzt, können für ein Polynom $\begin{eqnarray} f=\sum_{k^=0}^na_kX^k \in R[X] \end{eqnarray}$ die Werte der dadurch induzierten Polynomfunktion $\begin{eqnarray} f:R'\to R',x\to f(x)=\sum_{k=0}^na_k x^k \end{eqnarray}$ nur in $\begin{eqnarray} R' \end{eqnarray}$ liegen. Und natürlich werden diese Werte so behandelt, wie es den Ringelementen zusteht.

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