Jordan-Normalform

21.01.2012, 14:30	bassi23	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan-Normalform Hi, ich rechne gerade eine Altklausur und bin auf folgende Aufgabe gestoßen: Bestimme die Jordansche Normalform mit zugehöriger Transformationsmatrix für folgende Matrix: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{pmatrix} \in Mat_{3}(C) \end{eqnarray}$ Meine Rechnung: 1) charakteristisches Polynom: $\begin{eqnarray} X_{A} = t³-3t²+3t-1 \end{eqnarray}$ mit der einzigen Nullstelle $\begin{eqnarray} \lambda _{1,2,3} = 1 \end{eqnarray}$ Damit hat 1 die algebraische Vielfachheit 3 2) Eigenraum bezüglich 1: Eig(A,1) = Lös(A-id,0) = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Die geometrische Vielfachheit stimmt also nicht mit der algebraischen Vielfachheit überein. Also muss man sich den Hauptraum angucken. 3) Hauptraumzerlegung: $\begin{eqnarray} Hau(A,1)=Loes((A-id)²,0) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} Loes ((A-id)³,0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (A-id)²= (A-id)³= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daher ist $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ eine Basis des Hauptraums 4) Jetzt muss ich einen Vektor des Hauptraums, der nicht im Eigenraum ist, mittels Satz von Steinitz hineintauschen: Ich habe mal den Vektor $\begin{eqnarray} x_{2} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gewählt. --> Dann ist $\begin{eqnarray} x_{1}= (A-id)\cdot x_{2} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Transformationsmatrix sieht dann wie folgt aus: $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das kann aber nicht sein, da T nicht invertierbar ist. Meine Frage ist jetzt, wo ich einen Fehler gemacht habe? Ich bin bei der Berechnung von T so vorgegangen, wie es bei einem Beispiel in unserem Skript steht.
22.01.2012, 14:41	bassi23	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir keiner helfen?
22.01.2012, 14:54	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ muss doch in deiner Transformationsmatrix als Spalte auftauchen. Zum Beispiel als erste Spalte. Die zweite Spalte muss dann das Bild von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ unter $\begin{eqnarray} A-id \end{eqnarray}$ sein. Die dritte Spalte ist als linear unabhängiger Eigenvektor zu wählen.
26.01.2012, 16:55	bassi23	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die Antwort. Also sieht das Ganze jetzt so aus: $\begin{eqnarray} T=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Inverse: $\begin{eqnarray} T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1/4 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und die Verknüpfung: $\begin{eqnarray} T^{-1} o A o T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt steht die Jordanform allerdings "auf dem Kopf". Doof gefragt, aber ist das schlimm?
27.01.2012, 11:05	wdposchmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu musst du die Jordan Basis einfach anders anordnen, wenn du die gewohnte Form haben willst: $\begin{eqnarray} <br /> T = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Falsch ist dein Ergebnis allerdings nicht, es gibt hin und wieder Uni's bzw. Professoren, die die Jordan-Normalform so lehren, wie du sie als Ergebnis bekommen hast. Es ist wie gesagt nur eine Frage der Basisanordnung, die Berechnungen sind ja genau die Gleichen. Gruß

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