Wegzusammenhang zeigen (Topologie)

21.01.2012, 14:39	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegzusammenhang zeigen (Topologie) Meine Frage: Der topologische Raum $\begin{eqnarray} (X,\tau) \end{eqnarray}$ sei zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend. Zeigen Sie, daß $\begin{eqnarray} (X,\tau) \end{eqnarray}$ dann wegzusammenhängend ist. Meine Ideen: Moin, moin, ich erinnere mich noch dunkel an diese Dinge aus der Analysis IV, aber jetzt begegnet es mir wieder in der Topologie und ich versuch's mal wieder hervorzukramen. Hier mein Beweisversuch, von dem ich gerne wüsste, ob er in Ordnung ist. Beweis: Sei also $\begin{eqnarray} (X,\tau) \end{eqnarray}$ zusammenhängend, das bedeutet, daß $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ die einzigen zugleich offenen & abgeschlossenen Teilmengen von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ sind. Sei $\begin{eqnarray} (X,\tau) \end{eqnarray}$ lokal wegzusammenhängend. Das bedeutet, daß es zu jedem $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ und jeder Umgebung $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ eine wegzusammenhängende Umgebung $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} V\subset U \end{eqnarray}$ . [Nur mal so nebenbei: Das bedeutet in der Topologie doch: $\begin{eqnarray} x\in O\subseteq V\subset U, O\in\tau \end{eqnarray}$ ?] So, jedenfalls soll ich jetzt zeigen, daß $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ wegzusammenhängend ist, das heißt, daß zu je zwei Punkten $\begin{eqnarray} x,y\in X \end{eqnarray}$ ein Weg $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ ex. mit $\begin{eqnarray} \omega(0)=x, \omega(1)=y \end{eqnarray}$ . Betrachte ein fixes $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ und die Menge $\begin{eqnarray} W:=\left\{y\in X:~\exists \text{Weg von x nach y}\right\} \end{eqnarray}$ . Ziel ist zu zeigen, daß $\begin{eqnarray} X=W \end{eqnarray}$ . Dazu zeige, daß $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ offen & abgeschlossen ist. Da $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nach Voraussetzung zusammenhängend ist und $\begin{eqnarray} W\neq\emptyset \end{eqnarray}$ , da zumindest $\begin{eqnarray} x\in W \end{eqnarray}$ [konstanter Weg], folgt dann $\begin{eqnarray} X=W \end{eqnarray}$ . 1. Offenheit von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ : Sei $\begin{eqnarray} y\in W \end{eqnarray}$ . Nach Voraussetzung gibt's eine wegzusammenhängende Umgebung $\begin{eqnarray} A_y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y\in O\subseteq A_y\subseteq B \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} O\in\tau \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ Umgebung von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} z\in A_y \end{eqnarray}$ beliebig. Dann ist $\begin{eqnarray} z\in W \end{eqnarray}$ , denn verkette den Weg von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ mit dem Weg von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ und man hat einen Weg von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . Daraus folgt die Offenheit von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ . 2. Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ : Zeige, daß $\begin{eqnarray} X\setminus W \end{eqnarray}$ offen ist. Sei dazu $\begin{eqnarray} a\in X\setminus W \end{eqnarray}$ . Zu $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gibt es wieder eine wegzusammenhängende Umgebung $\begin{eqnarray} U_a \end{eqnarray}$ . Alle die Elemente in dieser Umgebung können nicht in $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ enthalten sein, denn ansonsten gäbe es einen Weg von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Sei etwa $\begin{eqnarray} b\in U_a \end{eqnarray}$ . Dann gibts einen Weg von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Gäbe es jetzt einen Weg von $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , so auch einen von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , da man einfach den Weg von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ verketten könnte mit dem von $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . ENDE
21.01.2012, 14:57	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig.
21.01.2012, 15:05	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit so einer schnellen und positiven Antwort hätte ich gar nicht gerechnet. Vielen Dank!

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