Ungleichung

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kingskid Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung
Hallo!
könnt ihr mir bitte bei dieser ungleichung helfen *verzweifel*

also meine Eigenwerte einer Matrix sind . und um die konvergenz eines Iteratiosverfahrens festzustellen muss ich schauen, wann der spektralradius kleiner 1 wird, d.h. wann folgendes gilt:

mit
dann würd ich zuerst mal unterscheiden

1.)

2.) , da die wurzel ja durchaus komplex werden könnte, oder?

zu 1.)






d.h. erfüllt für alle ??

zu 2.)


das komische ist nur, wenn ich beides quadrier bekomm ich ja wieder fall 1.). muss ich dann unterscheiden, wann das in der wurzel negativ oder positiv ist? oder brauch ich wohl überhaupt keine fallunterscheidung?

und wie ist das allgemein bei so (un)gleichungen mit wurzelziehen und quadrieren, das sind ja keine äquivalenzumformungen, oder? *confused*

viele grüße
kingskid
AD Auf diesen Beitrag antworten »

"confused" ist das richtige Stichwort. Also mal von vorn:

Die Eigenwerte deiner Matrix sind , gegebenfalls auch komplex. Und du fragst nun, für welche reellen diese Eigenwerte betragsmäßig kleiner als Eins werden? Es ist doch einfach

,

und rechts kann man umschreiben zu bzw. .
 
 
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Arthur Dent,

besten Dank für deine Hilfe, hab das mal noch weiterumgeformt:





stimmt das so?
dann hab ich jetzt noch ne frage, bei aufgabe teil (ii) sollte für ein anderes Verfahren auch die a's berechnet werden. da hab ich
|a|<1 rausbekommen.
bei (iii) ist nun die frage nach den parametern a für die sowohl das GSV aus (i) als auch das ESV aus (ii) konvergiert, aber irgendwie gibts dann kein a für das beide verfahren konvergieren, oder? komisch...

viele grüße
kingskid
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

warum darf man den betrag eigentlich gleich in die wurzel ziehen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da denkst du nochmal drüber nach. Augenzwinkern

Genauso wie über das Vergessen von Betragsstrichen, das hast du nämlich soeben getan: Aus folgt zunächst nur .

Oder hast du a>1 als Voraussetzung? Ich sehe nichts davon.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

ohweij, ja die hab ich vergessen, also nochmal:





1.) v 2.)

1.)




2.)


cool, dann gibt es ja doch ein wert für (iii): .
ist das nun so korrekt?

hm, wenn etwas positives unter der wurzel steht, müsste es ja egal sein ob die betragsstriche in der wurzel oder außerhalb sind... und wenn etwas negatives unter der wurzel ist und man den betrag bildet kommt auch wieder das gleiche raus, weil der realteil ja null ist und somit der komplexe betrag wieder das gleiche...?
aber leider sind das nur meine gedanken und keine mathematische erklärung... traurig
AD Auf diesen Beitrag antworten »

gilt für beliebige komplexe Zahlen . Das kannst du dir anhand der Polarform klarmachen.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

danke für den tip mit der polarform...

hab aber nochmal ne frage zum betrag. und zwar wenn ich für die EW zuerst diese Gleichung hab

, dann bekomm ich ja durchs wurzelziehen den betrag von :

also .

muss ich dann um den spektralradius abzuschätzen überhaupt nochmal den betrag von der wurzel nehmen?
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