Induzierte Topologie

Neue Frage »

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Induzierte Topologie
Meine Frage:
Seien , und topologische Räume und sowie stetige Abbildungen.

Zeige:

Induziert auf die Initialtopologie, so induziert auch die Initialtopologie.



Meine erste Frage ist:

Was bedeutet es, daß

die Initialtopologie auf induziert?

Meine Ideen:
Ich weiß bis jetzt nur, was eine induzierte Topologie ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induzierte Topologie
Ich bin mit den Begriffen echt noch nicht firm, aber ich schreibe Euch trotzdem mal meinen bisherigen Ansatz auf, vllt. könnt Ihr mir dann besser helfen.


-----

Es induziere also die Initialtopologie auf .

Das bedeutet doch: Für die Abbildung

ist die gröbste Topologie auf , sodaß

stetig ist.

(Stimmt das? So habe ich den Begriff jedenfalls verstanden.)

Aber wie komme ich nun darauf (vorausgesetzt natürlich diese Gedanken stimmen!), daß auch die Initialtopologie induziert?
 
 
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Die Initialtopologie wird von den Urbildern von offenen Mengen unter der betrachteten Funktion erzeugt. Die Initialtop. auf X bzgl. ist also erzeugt von den Mengen mit
Die Initialtop. auf X bzgl. f ist entsprechend erzeugt von den Mengen mit und zu zeigen ist, dass das auch wieder ist.
"Erzeugt" heißt hierbei wie üblich, dass man endliche Schnitte dieser Mengen bilden darf und dann sind beliebige Vereinigungen solcher Mengen die Mengen in der erzeugten Topologie.

Hier tut sich ein Problem auf, es scheint noch eine Voraussetzung zu fehlen. Was ist zum Beispiel, wenn g konstant ist? Dann ist immer nur die leere Menge oder der ganze Raum Y. Entsprechend ist auch nur die leere Menge oder X, d.h. ist die indiskrete Topologie. f und die Topologie auf Y können aber durchaus so geartet sein, dass die Initialtop. bzgl. f nicht diese Topologie ist.
Vermutung: Die Topologie auf Y sollte auch die Initialtopologie (bzgl. g) sein.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich mich daran versuche:


Kann ich das irgendwo nachlesen?

In meinem Topologiebuch steht sowas nicht.



Über die fehlende Voraussetzung kann ich leider nichts Weiteres sagen.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Kann ich das irgendwo nachlesen?

Was?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
Die Initialtopologie wird von den Urbildern von offenen Mengen unter der betrachteten Funktion erzeugt. Die Initialtop. auf X bzgl. ist also erzeugt von den Mengen mit
Die Initialtop. auf X bzgl. f ist entsprechend erzeugt von den Mengen mit und zu zeigen ist, dass das auch wieder ist.
"Erzeugt" heißt hierbei wie üblich, dass man endliche Schnitte dieser Mengen bilden darf und dann sind beliebige Vereinigungen solcher Mengen die Mengen in der erzeugten Topologie.


Das hier meinte ich.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Vereinigungen und Schnitten sollte in jedem Topologiebuch stehen. z.B. bei Querenburg (3. Auflage) auf Seite 23. Die genannte Umformulierung von 'Initialtop.' folgt direkt aus der Definition.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst hier den Begriff Subbasis, richtig?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, daß es mir dann klar ist:

Die Initialtopologie von X wird einmal erzeugt von den Mengen

Die Initialtopologie auf X ist aber auch erzeugt von den Mengen .


Wenn nun, wie Du vermutest, die Topologie auf Y die Inititaltopologie bzgl. g ist (ich vermute das auch), dann sind ja aber die Mengen gerade erzeugt von den Mengen .

Und deswegen ist das identisch, oder?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, im Wesentlichen. Im formalen Beweis muss man das natürlich noch etwas ausformulieren.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das versuche ich morgen.

Vllt. schaust Du ja dann nochmal rein. Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss doch zeigen, daß

?


Hierbei ist die Subbasis der Initialtopologie auf bzgl. und die Subbasis der Initialtopologie auf bzgl. .
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich musst du nicht zeigen, dass die Subbasen gleich sind, sondern nur, dass sie die gleiche Topologie erzeugen. D.h. dass jedes Element der einen Subbasis sich als Vereinigung endlicher Schnitte von Elementen der anderen darstellen lässt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich nochmal nachhaken.


Also jedes Element der Initialtopologie kann dargestellt werden als Vereinigung endlicher Schnitte von Mengen aus S und als Vereinigung endlicher Schnitte von Mengen aus T.

Wieso muss ich dann zeigen, daß jedes Element aus S dargestellt werden kann als Vereinigung endlicher Schnitte von Elementen aus T (und umgekehrt)?


Hab' ich noch nicht verstanden.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also jedes Element der Initialtopologie kann dargestellt werden als Vereinigung endlicher Schnitte von Mengen aus S und als Vereinigung endlicher Schnitte von Mengen aus T.

Es sind ja 2 unterschiedlich definierte Initialtopologien, einmal bzgl. f und dann bzgl. gf. Zu zeigen ist, dass die erzeugte Topologe aber dennoch die gleiche ist. Das ist aber gerade erfüllt wenn gilt
Zitat:
daß jedes Element aus S dargestellt werden kann als Vereinigung endlicher Schnitte von Elementen aus T (und umgekehrt)?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
Das ist aber gerade erfüllt wenn gilt
Zitat:
daß jedes Element aus S dargestellt werden kann als Vereinigung endlicher Schnitte von Elementen aus T (und umgekehrt)?


Und genau das verstehe ich nicht. Big Laugh

----

Trotz allem will ich mal versuchen, das zu zeigen, wenn mir die Sache auch noch nicht ganz klar ist.

Also ich schreibe nochmal alle drei beteiligten Subbasen hin.

1. Die Initialtopologie auf X bezüglich gof hat die Subbasis



2. Die Initialtopologie auf X bezüglich f hat die Subbasis

-

3. Die Initialtopologie auf Y bezüglich g hat die Subbasis

.


Ich versuche jetzt zu zeigen, daß man jedes Element aus T darstellen kann als Vereinigung endlicher Schnitte von Elementen aus S.

Sei . Das bedeutet für ein .

A kann man schreiben als mit und Indexmenge beliebig.

Daraus folgt

Das ist, wenn ich es richtig in Erinnerung habe:



, wobei man die ja schreiben kann als für jeweils ein

Demnach habe ich dann schließlich




Stimmt das?


Jetzt müsste ich noch zeigen, daß man jedes Element aus S darstellen kann als Vereinigung endlich vieler Schnitte von Elementen aus T, das habe ich bis jetzt noch nicht hinbekommen. Mir fehlt ein brauchbarer Ansatz.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe im letzten Beitrag nochmal meine Idee für den einen Teil des Beweises ergänzt.
Ein Ansatz für den anderen Teil wäre eine feine Sache.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Und genau das verstehe ich nicht. Big Laugh

Wenn jedes Element aus S sich wie beschrieben mit den Elementen aus T darstellen lässt, dann sind alle Elemente von S in der von T erzeugten Topologie enthalten. Nun ist die von S erzeugte Topologie aber die kleinste (bzw. 'gröbste'), die alle Elemente von S enthält. Also sind auch alle Elemente in der von S erzeugten Topologie in der von T erzeugten Topologie enthalten.

Dass die Menge dieser Vereinigungen von Schnitten die gröbste Topologie ist, die S enthält, sieht man im Detail so:
Es ist eine Topologie : Dass die leere Menge mit drin ist und Abgeschlossenheit unter Vereinigungen ist wohl klar. Abgeschlossenheit unter endlichen Schnitten kann man sich schnell überlegen mit dem 'Distributivgesetz'
Jede Topologie, die S enthält, enthält diese Topologie: Folgt direkt aus den Axiomen für Topologie.

Zu deinem Beweis: Richtig! Der andere Teil ist sogar einfacher. Für ein Element ist also bereits
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Das ist ein sehr lehrreicher Thread für mich.

Es sind noch weitere Teilaufgaben vorhanden, an denen versuche ich mich aber erst morgen. Meine Ideen poste ich dann wieder. Auf ein baldiges Wiedersehen! Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich ein bisschen in Verlegenheit, denn die nächste Teilaufgabe lautet so:

Induzieren auf X und auf Y die Initialtopologie, so induziert auch die Initialtopologie.


Soll das da wirklich bei bei der Topologie auf X heißen? Oder ist das wohl ein Tippfehler?


Müsste es da nicht heißen? Aber dann wäre es ja das Gleiche wie bei der obigen Aufgabe. Muss man dann bei der ersten obigen Aufgabe doch ohne damit auskommen, daß g die Initialtopologie auf Y induziert?


--------------------

Eine weitere Teilaufgabe lautet:

Ist und ist , dann trägt die Quelle von die Initialtopologie.

Ich verstehe das so, daß man zeigen soll, daß die Initialtopologie auf X bzgl. f ist.

Ich würde zeigen, daß die Initialtopologie auf X induziert. Dann folgt nach der ersten zu beweisenden Aufgabe doch, daß auch f die (gleiche) Initialtopologie auf X induziert.

Sei dazu also die Subbasis der von gof induzierten Initialtopologie auf X.

Dann ist diese Subbasis doch identisch mit .

Das heißt doch aber, das gerade identisch ist mit der die Initialtopologie auf X (bzgl gof) erzeugenden Subbasis. Also ist doch die Initaltopologie?

Und dann induziert nach obiger Aufgabe auch f die gleiche Initialtopologie.

verwirrt

Macht das Sinn?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es mir nochmal angeguckt, und es stimmte wirklich wie es in der ersten Aufgabenstellung steht. Asche auf mein Haupt.. (Anders als ich zuerst dachte: Wenn g konstant ist, dann trägt X die indiskrete Top., aber damit f stetig ist wie vorausgesetzt hat man kaum Spielraum mehr für f, da es nur wenige stetige Abbildungen aus einem indirekten Raum in einen anderen gibt..)
Zum Beweis dieser ersten Aussage: Man muss verwenden, dass f und g stetig sind. Die Initialtopologie bzgl. einer Abbildung kann auch eindeutig beschrieben werden durch:
1. Die Abbildung ist stetig bzgl. dieser Topologie im Urbildraum
2. Für jede Topologie im Urbildraum bzgl. derer die Abbildung stetig ist, ist die Initialtopologie in dieser enthalten.
(also eben gerade wieder 'die gröbste Top. sodass die Abbildung stetig ist')

1. ist nun schon nach Vss. erfüllt, f ist stetig. Nun gilt 2. für die Abbildung gof. Daraus folgt eigentlich schnell, dass 2. auch für die Abbildung f gilt, wenn man benutzt, dass g stetig ist.

Zitat:
Original von Dennis2010
Jetzt bin ich ein bisschen in Verlegenheit, denn die nächste Teilaufgabe lautet so:

Induzieren auf X und auf Y die Initialtopologie, so induziert auch die Initialtopologie.


Soll das da wirklich bei bei der Topologie auf X heißen? Oder ist das wohl ein Tippfehler?

Müsste es da nicht heißen?

Es sollte bestimmt sein. Und das ist dann sehr ähnlich zu dem, was wir oben gemacht haben, ja.

Zitat:
Eine weitere Teilaufgabe lautet:....

Dieser Beweis ist richtig, es ist wirklich so einfach. (Wenn mit 'Quelle' der Urbildraum gemeint ist, das Wort 'Quelle' habe ich noch nie dafür benutzt gesehen.)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Da g stetig ist, hat jede offene Menge in ein offenes Urbild in .
Ebenso ist ja auch gof stetig, also hat jede offene Menge in auch ein offenes Urbild in .

Außerdem gilt für alle Topologien bezüglich derer gof stetig ist.

Ich weiß nicht genau, wie ich das ausdrücken kann, aber wenn die Initialtopologie jetzt nicht in allen Topologien enthalten wäre, bezüglich derer f stetig ist, dann gäbe es doch offene Menge in die keine offenen Urbilder in hätten, nämlich die, die unter gof offene Urbilder in der Initialtopologie haben.




verwirrt
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Ich weiß nicht genau, wie ich das ausdrücken kann, aber wenn die Initialtopologie jetzt nicht in allen Topologien enthalten wäre, bezüglich derer f stetig ist, dann gäbe es doch offene Menge in die keine offenen Urbilder in hätten, nämlich die, die unter gof offene Urbilder in der Initialtopologie haben.

Das verstehe ich nicht. Eine Menge kann immer nur ein Urbild unter einer Funktion haben.

Nimm dir eine Topologie auf X vor, sodass stetig ist. Zu zeigen ist
Nun ist stetig als Zusammensetzung stetiger Funktionen.
..
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso und weil die kleinste Topologie ist, bzgl derer gof stetig ist, muss gelten .

Das ist es schon?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann vielen Dank für Deine Hilfe.



Ich habe halt ein Talent, Dinge zu ver-komplizieren.



PS. Es folgen noch ähnliche Aufgaben zur Finaltopologie, aber das ist noch ein Begriff, den ich mir erst aneignen muss, zu geeigneter Zeit frage ich dazu hier nach.


Bis dahin erstmal: Wink
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun geht es endlich weiter im Programm.

Folgende Aufgabe:

Man formuliere und beweise analoge Aussagen zu obigen beiden Aussagen für die Finaltopologie.


Meine Ideen:

Analogon zur ersten Aussage:

Induziert auf Z die Finaltopologie, so induziert auch die Finaltopologie.

Analogon zur zweiten Aussage:

Induzieren auf Y und auf Z die Finaltopologie, so induziert auch die Finaltopologie.



Ist das korrekt?

(Beweise versuche ich nun.)


Edit:

Beweis(versuch) fürs erste Analogon:

Zeige ist die feinste Topologie auf Z bzgl. derer g stetig ist. Sei eine Topologie auf Z, sodaß stetig ist. Zeige .
Da als Komposition stetiger Funktionen stetig ist, muß gelten , denn ist n.V. die feinste Topologie bzgl. derer stetig ist.

[Korrekt?]

---

Zum 2. Beweis: Muss ich da zeigen, daß

? Dann müssten die Finaltopologien bezüglich g und bezüglich gof übereinstimmen, was man ja zeigen will (so hoffe ich).

Also nach Voraussetzung ist doch

sowie

.

Daher gilt doch bereits die Identität, würde ich meinen, da aus folgt, daß und deswegen:




--

So, jetzt warte und hoffe ich auf Reaktionen.

Danke fürs Durchlesen!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich den letzten Beitrag so oft editiert habe, nochmal der Hinweis:

Das ist jetzt die Endversion.


Jetzt warte ich auf Reaktionen.

Danke im Voraus. Wink
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Daher gilt doch bereits die Identität, würde ich meinen, da aus folgt, daß

Hier würde ich noch ergänzen ..und aus folgt da Finaltopologie ist.

Aber alles richtig sonst. Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankesehr!

Tanzen


PS. Eine kleine Aufgabe wird evtl. noch folgen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Eine weitere Teilaufgabe lautet:

Ist und ist , dann trägt die Quelle von die Initialtopologie.

Ich verstehe das so, daß man zeigen soll, daß die Initialtopologie auf X bzgl. f ist.

Ich würde zeigen, daß die Initialtopologie auf X induziert. Dann folgt nach der ersten zu beweisenden Aufgabe doch, daß auch f die (gleiche) Initialtopologie auf X induziert.

Sei dazu also die Subbasis der von gof induzierten Initialtopologie auf X.

Dann ist diese Subbasis doch identisch mit .

Das heißt doch aber, das gerade identisch ist mit der die Initialtopologie auf X (bzgl gof) erzeugenden Subbasis. Also ist doch die Initaltopologie?

Und dann induziert nach obiger Aufgabe auch f die gleiche Initialtopologie.

verwirrt

Macht das Sinn?



Etwas deutlicher:

ist natürlich stetig und da ist die gröbste Topologie bzgl. derer stetig ist (gröber gehts ja nicht mehr), also MUSS die Initialtopologie auf X sein.

Also induziert die Initialtopologie auf X und nach der ersten Aussage, die hier bewiesen wurde, induziert dann auch f die Initialtopologie.



So korrekt?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »