Cosinus Hyperbolicus und Umkehrfunktion

15.01.2007, 14:29

vektorraum

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Cosinus Hyperbolicus und Umkehrfunktion

Hi!

Es sei $\begin{eqnarray*} f(x)=\cfrac{1}{\cosh (x)} \end{eqnarray*}$ gegeben. Wir sollen die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ bestimmen, sowie die Ableitung der Umkehrfunktion, sowohl explizit aus der Umkehrfunktion und einmal durch die Ableitung der Umkehrfunktion.
Ok, soweit erstmal kein Problem. Ich bestimmt die Umkehrfunktion, weil ich ja weiß, dass

$\begin{eqnarray*} y=\cfrac{1}{\cosh x}=\cfrac{2}{e^x+e^{-x}} \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} \cosh (x)=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Nach ein bisschen umformen usw. erhalte ich schließlich für die Umkehrfunktion

$\begin{eqnarray*} x(y)=\ln\left(\frac{1}{y}+\sqrt{\frac{1}{y^2}-1}\right) \end{eqnarray*}$

Hier bestimme ich die Ableitung $\begin{eqnarray*} x'(y) \end{eqnarray*}$ , die dann lautet

$\begin{eqnarray*} x'(y)=\cfrac{-x\sqrt{\cfrac{1}{x^2}-1}-1}{x^2\sqrt{\cfrac{1}{x^2}-1}+x-x^3} \end{eqnarray*}$

Müsste auch stimmen, habs mit Mathematica durchgerechnet.
Nun zur Ableitung über die Ableitung der Umkehrfunktion.

Ist $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ eine umkehrbare diff'bare Funktion, dann ist die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} x=g(y) \end{eqnarray*}$ diff'bar und es gilt:

$\begin{eqnarray*} g'(y)=\cfrac{1}{f'(g(y))} \end{eqnarray*}$

Damit komme ich jetzt nicht so richtig klar. Mein $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} f(x)=\cfrac{1}{\cosh x} \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} x=g(y)=\operatorname{arcosh}\left(\frac{1}{y}\right) \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \cfrac{\dd x}{\dd y}=x'=g'(y)=\cfrac{1}{f'\left(\operatorname{arcosh}\left(\frac{1}{y}\right)\right)} \end{eqnarray*}$

Was muss ich denn nun machen??? Hier weiß ich jetzt nicht weiter.
Ist die Ableitung von dem ausdruck in der Klammer gesucht???
Würde mich freuen, wenn mich jemand aufklärt Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.01.2007, 14:35

ich bin smile

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Zitat:

Ist die Ableitung von dem ausdruck in der Klammer gesucht???

Nein! Du hast deine Funktion f(x) und nun must du arccosh(1/y) in die Ableitung von f(x) setzen.

15.01.2007, 14:45

vektorraum

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Danke!
Also: Sei y=f(x)= $\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{\cosh x} \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} y'=\cfrac{-\sinh x}{(\cosh x)^2} \end{eqnarray*}$ . Also folgt:

$\begin{eqnarray*} x'=g'(y)=\cfrac{\left(\cosh(\operatorname{arcosh}\left(\frac{1}{y}\right)\right)^2}{-\sinh\left(\operatorname{arcosh}\left(\frac{1}{y}\right)\right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x'=\cfrac{\frac{1}{y^2}}{-\sinh\left(\operatorname{arcosh}\left(\frac{1}{y}\right)\right)} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin richtig??? Wie gehts dann weiter???

15.01.2007, 14:49

ich bin smile

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Zitat:

Bis hierhin richtig??? Wie gehts dann weiter???

Bis hierhin ist es meiner Meinung nach richtig.

Zum weiteren Geschehen:

Entweder du lässt es so stehen oder du ...

Gab es nich' auch "Additionstheoreme" für diese Hyperbolicus-Sache?

15.01.2007, 14:52

vektorraum

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Das Problem ist, dass ich die Ableitungen mittels beider Wege errechnet vergleichen soll. Bis jetzt sieht es noch ein wenig konfus aus, und gar nicht gleich. Wegen Additionstheoremen kann ich mal schauen, weiß nur noch nicht, wie ich den Nenner umformen soll.
Vlt hat ja noch jemand einen Tipp für mich? Wink

Wink

15.01.2007, 15:07

ich bin smile

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Also ich hab hier was für den normalen Sinus und ich weiß nicht, ob das auch für den Hyperbolicus gilt:

Additionstheoreme

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15.01.2007, 15:21

derkoch

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$\begin{eqnarray*} cosh^2(x) -sinh^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sinh(x_1\pm x_2)= sinh(x_1)\cdot cosh(x_2)\pm cosh(x_1) \cdot sinh(x_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cosh(x_1\pm x_2)= cosh(x_1)\cdot cosh(x_2)\pm sinh(x_1) \cdot sinh(x_2) \end{eqnarray*}$

15.01.2007, 21:04

vektorraum

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@derkoch und @ichbinsmile:

Hab es hinbekommen, zu zeigen, dass der Ausdruck mit oben übereinstimmt. Dazu muss ich ja sowieso den Ausdruck komplett anders schreiben. Ich habe einfach angewendet, dass

$\begin{eqnarray*} \sinh(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \operatorname{arcosh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1}) \end{eqnarray*}$

ist. Einfach eingesetzt und umformen und man kommt tatsächlich auf das richtige Ergebnis...

Vielen Dank für eure Hilfe Tanzen

Tanzen

16.01.2007, 22:03

vektorraum

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Hi!

Ich habe noch eine Frage bezüglich der Erstellung der Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .
Ich forme die Gleichung um, in dem ich weiß, dass

$\begin{eqnarray*} f(x)=\cfrac{2}{e^x+e^{-x}} \end{eqnarray*}$ ist.

Irgendwann komme ich auf den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} e_{1,2}^x=\cfrac{1}{y}\pm\sqrt{\cfrac{1}{y^2}-1} \end{eqnarray*}$

Kommt daher, dass ich nach einer geschickten Erweiterung der ursprünglichen Gleichung soweit umformen konnte, dass ich auf eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ kam.
Nun, meine Begründung für das weglassen des negativen Vorzeichens ist, dass $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ positiv ist, und wir daher nur das $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ betrachten müssen.
D.h. die Umkehrfunktion ist zunächst

$\begin{eqnarray*} e^x=\cfrac{1}{y}+\sqrt{\cfrac{1}{y^2}-1} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig, und wenn ja, gibt es noch eine bessere Begründung???

16.01.2007, 22:14

Calvin

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Zitat:

Original von vektorraum
Nun, meine Begründung für das weglassen des negativen Vorzeichens ist, dass $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ positiv ist, und wir daher nur das $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ betrachten müssen.

Nein, diese Begründung ist nicht richtig. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{\cosh{x}} \end{eqnarray*}$ ist nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ streng monoton, sondern nur für x>0 oder x<0.

Wenn du die Umkehrfunktion mit dem negativen Vorzeichen nimmst, dann bekommst du die Umkehrfunktion des linken Zweiges. Mit dem positiven Vorzeichen die des rechten Zweiges.

rechter Zweig von 1/cosh(x):

linker Zweig von 1/cosh(x):

16.01.2007, 22:29

vektorraum

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@Calvin: Danke für deine schnelle Antwort. Wäre dann die bessere Begründung:
Weil $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ streng monoton ist betrachten wir o.B.d.A. nur den linken Zweig, d.h. die Umkehrfunktion des linken Zweigs von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .
Ändert das aber nicht gleichzeitig auch die Ableitung der Umkehrfunktion, wenn ich das andere Vorzeichen wählen würde???

16.01.2007, 22:44

Calvin

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Zitat:

Original von vektorraum
Weil $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ streng monoton ist betrachten wir o.B.d.A. nur den linken Zweig, d.h. die Umkehrfunktion des linken Zweigs von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

Ich habe zwar keine Quelle/Begründung dafür, aber ich habe es noch nie gesehen, dass in solchen Fällen (wenn also nichts weiter gefordert ist) immer der linke Zweig genommen. Gibt es noch eine Einschränkung in der Aufgabe, z.B. x>0? Wenn nicht, würde ich den rechten Zweig nehmen mit der Begründung, dass für den linken Zweig eine andere Monotonie herrscht.

Zitat:

Ändert das aber nicht gleichzeitig auch die Ableitung der Umkehrfunktion, wenn ich das andere Vorzeichen wählen würde???

Natürlich kriegst du dann eine andere Ableitung. Du hast ja auch mit den verschiedenen Vorzeichen verschiedene Funktionen (siehe Graph)

17.01.2007, 13:31

vektorraum

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@Calvin: Die Frage mit der Ableitung bezog sich ja auf die ursprüngliche Aufgabenstellung, in der gefordert war, dass man einmal explizit die Umkehrfunktion bestimmt und deren Ableitung angibt, und dann die Ableitung mittels der Ableitung der Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bestimmt.

Wenn ich nun gerade das andere Vorzeichen nehme, ändert sich ja wie schon gesagt, auch die Ableitung. Dann stimmen ja beide Resultate nicht mehr überein...
Wo liegt da mein Denkfehler???

17.01.2007, 16:37

Calvin

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Meiner Meinung nach hast du keinen Denkfehler. Die Funktion f(x) ist für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht bijektiv und daher nicht umkehrbar. Die Funktion f(x) für x>0 ist umkehrbar und die Funktion für f(x)<0 ist umkehrbar.

Welches davon der "richtige" Zweig ist, ist mir persönlich nicht klar. Steht wirklich keine weitere Information über den Definitionsbereich von f in der Aufgabe? Wenn nicht dasteht, würde ich (ohne eine sinnvolle Begründung zu haben) den rechten Zweig nehmen.

Wie sehen das die anderen Helfer hier?

17.01.2007, 20:34

vektorraum

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@Calvin: Ich habe meinen Fehler entdeckt - ich sollte mal die Aufgaben richtig lesen. Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} 0\leq x<\infty \end{eqnarray*}$ . Dann ist mir auch alles klar! Anscheinend könnte man ohne diese Angabe keine Aussage über die Umkehrfunktion machen, halt nur in ihrem jeweiligen Intervall. Na gut, habs kapiert und seh mein Fehler ein Hammer

Hammer

Dankeschön Gott

Gott

17.01.2007, 20:46

Calvin

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Kein Problem. Schön, dass alles geklärt ist smile

smile

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