gleichmäßige konvergenz

21.01.2012, 16:49

maths_1

gleichmäßige konvergenz

hallo

ich sitze folgender aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f_n(x)= \frac{x}{1+n^2x^2} \end{eqnarray*}$ diese ist liegt auf dem Intervall (0,1)

diese soll ich jetzt auf konvergenz (grenzfunktion bestimmen) und auf gleichmäßige konvergenz hin untersuchen.

ich weis allerdings nicht was ich tun soll.

ich habe angefangen und die grenzfunktion bestimmt bin mir aber überhaupt nicht sicher ob ich das richtig gemacht habe.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\lim_{n \to \infty} f_n(x)= \lim_{n \to \infty} \frac{x}{1+n^2x^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{x}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+1+\frac{x^2}{n^2}} = \frac{0}{0+1+0} = 0 \end{eqnarray*}$

das heißt die grenzfunktion wäre 0 oder?

so und was ist nun für gleichmäßige konvergenz zu tun?

muss ich jetzt die definition $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|< \epsilon \end{eqnarray*}$ anwenden?

--> $\begin{eqnarray*} | \frac{x}{1+n^2x^2}-0|<| \frac{x}{1+n^2x^2}|< \frac{x}{1+n^2x^2} \end{eqnarray*}$ so und hier weis ich nicht mehr weiter.ich muss jetzt irgemdwie mit den grenzwerten argumentieren. kann ich jetzt x= 1 setzen? aber 1 ist ja nicht auf dem zu untersuchenden intervall.

ich hoffe es kann mir jemand die gleichmäßige konvergenz erklären. ich schreibe nächst woche die klausur und bin mir absolut unsicher wie ich hier ran gehen muss oder wiee ich weiter machen muss. traurig

21.01.2012, 17:17

chrlan

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$\begin{eqnarray*} da\;x<1\;ist\;x^2<x<x^2+1 \end{eqnarray*}$

wenn ich das richtig verstanden habe funktioniert das so, dass ab einem bestimmen n0 das immer < epsilon ist?
wichtig ist das man hier sieht das der bruch immer kleiner 1 ist vollkomen egal was ich einsetze.
dann müsste ich das ja als
$\begin{eqnarray*} \epsilon=\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} \end{eqnarray*}$ wählen.
aber ich muss ehrlich sein das ich da auch meine probleme hab. also nicht unbedingt auf mich hören...

die grenzfunktion sollte stimmen

22.01.2012, 15:07

maths_1

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sonst keiner mehr hier der mir helfen kann?

23.01.2012, 10:31

maths_1

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also über ein wenig hilfe würde ich mich jetzt echt freuen böse

23.01.2012, 13:10

ThomasL

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RE: gleichmäßige konvergenz

Zitat:

Original von maths_1

$\begin{eqnarray*} \dots = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{1+n^2x^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{x}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+1+\frac{x^2}{n^2}} =\dots \end{eqnarray*}$

Der Nenner rechts ist falsch, aber das Ergebnis stimmt: die Grenzfunktion ist die Nullfunktion auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ .

zur gleichmässigen Konvergenz: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Wir müssen nun prüfen, ob ein $\begin{eqnarray*} N_\epsilon\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ existiert mit

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-0|= \frac{x}{1+n^2x^2}<\epsilon \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n\ge N_\epsilon \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x\in (0,1) \end{eqnarray*}$ . Löse dazu die Ungleichung nach $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ auf ...

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