Gradient vs Differential

21.01.2012, 19:12	MarcelF6	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient vs Differential Hallo Was ist der Unterschied zwischen dem Gradienten und dem Differential, wenn solange man nur die Ableitungsordnung 1 betrachtet? Also bspw. f(x,y) = xy. Partiell nach x abgeleitet haben wir y, partiell nach y abgeleitet haben wir x. Das heisst wir erhalten das Differential (y,x). Aber auch der Gradient ist (y,x) (einfach übereinander geschrieben). Gruß
21.01.2012, 19:36	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Gradient liefert dir einen Vektor $\begin{eqnarray} \nabla f(x,y) = \begin{pmatrix}\partial_x f \\ \partial_y f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und das Differential liefert dir eine Linearform. Auf dem $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ lässt sich jede solche Linearform als transponierter Vektor schreiben. Genauer hasst du dann $\begin{eqnarray} df = \begin{pmatrix}\partial_x f \ \partial_y f\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \ x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gelegentlich wird auch eine Notation $\begin{eqnarray} df = \partial_x f dx + \partial_y f dy = ydx + xdy \end{eqnarray}$ verwendet. Im Vergleich zur oberen Notation kannst du einfach formal $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 \ 0 \end{pmatrix} = dx, \ \ \begin{pmatrix}0 \ 1 \end{pmatrix} = dy \end{eqnarray}$ setzen. Im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ wird dabei in der Regel sowieso nicht zwischen allen 3 Schreibweisen grossartig unterschieden. Interessant und wichtig wird das erst wenn du dich auf abstrakten Mannigfaltigkeiten befindest. Edit: Das differential ist also einfach eine Linearform, eben das Abgeleitete und der Gradient ergibt sich mit dem Skalarprodukt als Vektor, welcher die Relation $\begin{eqnarray} \langle \nabla f, v \rangle = df(v) \end{eqnarray}$ erfüllt. Die rechte Seite kannst du dabei als Richtungsableitung nach v interpretieren. Und dieses wird ja auch in der Regel in der Analysis gezeigt. mfg
21.01.2012, 19:36	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
hast du nicht ein besseres Beispiel? wie wäre es mit $\begin{eqnarray} y\cos x +4x^3 \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb R^1 \end{eqnarray}$ würde ich ja so sagen: $\begin{eqnarray} \dd y =\rm \underbrace {\overbrace {f'(x)}^{\mathfrak {grad}} \dd x}_{\rm Differential} \end{eqnarray}$
21.01.2012, 20:57	Gast12462	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Differential einer 0-Form (glatte Abbildung) ist eine 1-Form, d.h. eine Linearform: $\begin{eqnarray} df = \langle \nabla f , \cdot \rangle = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \end{eqnarray}$ in der Dimension 2

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