Nullstellen von Funktionen berechnen |
21.01.2012, 20:35 | Ninuzz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nullstellen von Funktionen berechnen das Abitur rückt immer näehr und bin in der Vorbereitungphase in Mathematik. Hab jetzt Fragen zu der Berechnung von Nullstellen von Funktionen. 1) Ganzrationale Funktionen Bsp: f(x)=x^4+x^3+x^2+x Wie gehe ich hier vor ? 2) Trigonometrische Funktionen Bsp: f(x) sin(x) Wie gehe ich hier vor ? 3) Natürliche Exponentialfunktionen Bsp: f(x)= 5^x Wie gehe ich hier vor ? 4) Potenzfunkionen Bsp: f(x)= x^3 Wie gehe ich hier vor ? 5) Gebrochenrationale Funktionen Bsp: f(x)= 1/x Wie gehe ich hier vor ? Danke für die Hilfe LG Ninuzz |
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21.01.2012, 20:42 | Ebbe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Ninuzz, An sich geht man immer gleich vor, nämlich indem man die bei der Funktion die man hat f(0) ausrechnet...d.h. du setzt einfach immer für x 0 ein.... 1) f(x)=x^4+x^3+x^2+x --> f(0)= 0^4+0^3+0^2+0 = 0 --> N(0/0) 2) f(x)=sin(x) --> f(0)= sin(0) und wenn du weißt wie der sinus aussieht folgt erstmal = 0 und da sich der sinus nach 2pi immer wiederholt gilt: N(0+2pi/0) 3) f(x)= 5^x --> f(0) =5^0=1 4) f(x)= x^3 --> f(0)= 0^3 = 0 5) f(x)= 1/x Da hast du dir jetzt eine blöde FUnktion rausgesucht, da f(0) nicht definiert ist ( du darfst nicht durch null teilen)... hoffe ich konnte dir helfen Liebe Grüße Jasmin |
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21.01.2012, 20:44 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
@Ebbe: Unter Nullstelle versteht man jene x-Werte, die eingesetzt in eine Funktion f den Funktionswert Null liefern. Wir suchen also die Schnittpunkte mit der x-Achse, nicht wie du es machst, mit der y-Achse. Aber eigene Ideen wirst du wohl haben, Ninuzz...wenn nicht, sehe schlecht ich für dein Abitur |
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21.01.2012, 20:46 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du setzt bei jedem Funktionstypen die Funktion = Null. Bei 1) Kannst du ausklammern bei 2) Substitution bei 3) Logaritmus bei 4) Wurzel ziehen bei 5) Wird nicht Null, da du den Zähler nicht Null setzen kannst, was du sonst tuen würdest aber hier ist keine Möglichkeit das es Null wird. Und hat es dir geholfen? Ich denke nicht. Poste am besten erst deine eigenen Gedanken und wir rechnen alle nacheinander einmal durch. Edit: Da habe ich wohl ein wenig zu lange gebraucht. Bin raus. |
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21.01.2012, 20:47 | Ebbe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Oh gott....totalen Denkfehler gehabt!!...Natürlich ich habe heute schon zuviel Physik gelernt Sorry |
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21.01.2012, 20:49 | Ninuzz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey, Danke hat mir schon sehr weitergeholfen )) Ja okay hab ja auch ganz einfache Funktionen hingeschrieben Wie wäre es denn mit Parametern ? z.B. 1) f(x)= 5x^4+3x^3+6x^2+3x+2 2) f(x)= sin(2x) oder f(x)= 2sin(x) 3) f(x)= 5^2x-1 4) f(x)= 2x^3+5 5) f(x)= (x+5)^2 / x^3-3 ???? Danke schonmal LG Ninuzz |
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21.01.2012, 21:00 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja, es gibt kein "allgemeins Rezept" wie man die Nullstellen leicht errechnen kann. Bei einem Polynom (wie bei dir die 1)) könnte man zum Beispiel mit der Polynomdivision ansetzen. Doch wäre da keine 2, könnte man auch erst ausklammern. Substitution und Mitternachtsformel sind weitere Lösungsvarianten (die bei deiner Beispielfunktion natürlich (bisher) keinen Sinn machen). 2) Überlege dir, wann der Sinus 0 ist. Beachte die Periode und das es mehr als eine Lösung geben kann . 3) Wurzel ziehen ist hier natürlich sinnfrei, da glaube mal Gmasterflash nicht . Logaritmen sind hier das Stichwort. Aber auch hier gibt es Aufgaben, bei denen man sich leichter tut, indem man zuerst substituiert, etc. etc. 4) Das ist ja dasselbe wie die 1). Ein Polynom. In diesem Spezialfall kannst du die Wurzel ziehen. 5) Es ist nur der Zähler von Belang (und dann sind wir wieder bei 1)). Den Nenner musst du nur in sofern betrachten, dass da nicht dieselbe "Nullstelle" drinsteckt wie im Zähler . |
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22.01.2012, 00:20 | Ninuzz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey, also 2) Trigonometrische Funktionen ist mir klar geworden.. Aber bei den anderen Aufgaben die ich mir überlegt habe komm ich trotzdem nicht weiter.. |
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22.01.2012, 00:36 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
Welche Aufgaben genau? Was sind deine bisherigen Ideen? |
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22.01.2012, 14:27 | Ninuzz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey, also bei meiner 1) Würd ich als erstes Ausklammern, anschließend die Polynomdivision durchführen und zum Schluss die Mitternachtsformel.. 2) Da tu ich mir noch ein bisschen schwer, da es ja mehrere Nullstellen hat, da hab ich noch keinen richtigen Ansatz. 3) Da würd ich den Logarithmus einsetzen also ln(5^2x-1) weiß aber nicht was da rauskommt oder wie man da weiterrechnet.. 4) Da kann ich ja die dritte Wurzel draus ziehen weiß aber selbst ned wie ich da weiterkommen kanm.. 5) Dasselbe wie bei 4) die dritte Wurzel ziehen aber weiter... |
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22.01.2012, 14:33 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
1) Das Ausklammern funktioniert hier nicht! Beachte, dass du ein Glied ohne x hast! Meine Idee bezog sich darauf, wenn du lauter Glieder mit x hast! Hier bleibt dir vorerst nur die Polynomdivision. Zweimal wies aussieht . 2) Ich dachte es hätte geklappt? Wie weit biste denn bisher? 3) Du hast doch f(x)=5^x-1=0. Bringe alles ohne x auf die eine Seite. Erst dann nimm den Logarithmus . Du hättest sonst ln(5^x-1)=ln(0). Das ist nicht erlaubt! 4) Denke auch hier dran, dass du eine Gleichung hast! Alles ohne x auf die eine Seite! 5) Wurzel ziehen kann man schon machen (aber nicht die dritte!). Aber du hast ja schon die Linearfaktoren dastehen. Du kannst das Ergebnis eigentlich direkt ablesen^^ (Wie gesagt, den Nenner brauchst du nicht weiters zu betrachten. Die Nullstellen des Nenners unterscheiden sich von denen im Zähler ). |
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22.01.2012, 14:40 | Ninuzz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also zu 1) Im diesjährigen Abitur wird die Polynomdivision gar nicht verlangt... 2) Ich könnt bei f(x)= sin(x) einfach die pi-Werte ablesen abermit Parametern ? 3) Wie kann ich denn von f(x)= 5^x-1 das x auf eine Seite bekommen ? Da muss ich doch den Logarithmus anwenden ? 4)Da ist es ja genauso wie bei 3).. 5) ja dann gibts ja x^3 = -3 dann ist das Ergebnis die dritte Wurzel aus -3 ?? |
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22.01.2012, 14:46 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
1) Im diesjährigen Abitur wird die Polynomdivision gar nicht verlangt... Wie bitte? Ein Scherz? Wie wollt ihr dann Aufgaben lösen die über die 2te Potenz hinausgehen? Naja, ich richte mich nach dir/dem Schulsystem . Ausnahmsweise freue ich mich schon ein gewisses Alter zu haben... 2) Ja, das mit den "pi-Werten" geht schon in die richtige Richtung. Du musst dir überlegen für welche x der Sinus 0 wird. Das dann angleichen . 3) Naja, die 1 wirste wohl auf die andere Seite bekommen . Dann den Logarithmus. 4) Der Logarithmus hat hier nichts verloren! Bring alles ohne x auf die andere Seite. Dann die Wurzel. 5) Der Nenner bleibt irrelevant... Und hast du x³-3=0, so folgt daraus ohnehin nicht x³=-3! Der Zähler (das was oben steht) ist von Belang! |
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22.01.2012, 15:35 | Ninuzz | Auf diesen Beitrag antworten » |
1) Ja so stehts überall aber ich lern es trotzdem dazu... 3) Hab die Funktion wohl falsch ausgedrückt.. f(x) 5^(x-1) also das x-1 ist die Potenz.. 4) Hab ich dasselbe Problem wie bei 3).. 5) (x+5)^2 ist der Zähler (bin bisschen durcheinander gekommen) Also x^2+10x+10 und hier dann die Mitternachtsformel anwenden ? |
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22.01.2012, 15:45 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
1) Schaden tuts in keinem Falle! 3) Ahh ok! Klammersetzung nie vergessen! Eine reine Potenzfunktion wird nie 0. Du bist also fertig 4) Warum vergleichst du immer 3) und 4). Das sind zwei grundlegend verschiedene Funktionen! Die kann man (so gut wie) nicht vergleichen! Wie lautet die Aufgabe: 2x^3+5=0 oder 2x^(3+5)=0? Wurzelziehen, so oder so, ist hier das Stichwort! 5) 5² ist nicht 10! , sonst aber ja. Doch das ist wie wenn man eine Fliege mit einer Panzerfaust jagen will . Aber rechne es erst mal so. Danach zeige ich dir einen anderen Weg . |
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23.01.2012, 14:43 | Ninuzz | Auf diesen Beitrag antworten » |
3) Gibts bei Potenzfunktionen überhaupt Nullstellen und wie errechnet man die ? 4) f(x)=2x^3+5 wars.. Aber wenn man einmal die Wurzel zieht dann komm ich immernoch nicht auf das Ergebnis.. 5) Was wäre denn der andere Weg ? |
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23.01.2012, 14:46 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
3) Wenn du keine reine Potenzfunkion hast, durchaus. Das hatte ich dann auch schon erwähnt -> Logarithmus. Bsp.: 5^(2x)-1=0 -> 1 auf die andere Seite bringen, Logarithmus anwenden. 4) Ja zeig doch mal wie du vorgehst. So sehe ich da nicht viel?! 5) Die Potenz ist doch nichts anderes als eine verkürzte Produktschreibeweise: x*x=x². Du hast also ein Produkt vorliegen. Da gilt: Ist ein Faktor 0, so ist es das ganze Produkt. Damit lässt sich deine Nullstelle direkt ablesen . |
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23.01.2012, 22:13 | Ninuzz | Auf diesen Beitrag antworten » |
3) 2x = log(1) / log(5) oder ?? 4) 2x^3+5 -> 2x^3 = -5 -> x^3 = -2,5 -> x^2 = wurzel(-2,5) ?? 5) Als Lösung hab ich jetzt x= -5. Ist das richtig ? |
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23.01.2012, 22:21 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
3) Ja das ist richtig. Erinnere dich: log(1)=0 4) Hmm, warum nimmst du nur die "normale" Wurzel? Du hast doch bei dem x, die dritte Potenz stehen. Nimm also die dritte Wurzel . 5) Yep genau |
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24.01.2012, 14:51 | Ninuzz | Auf diesen Beitrag antworten » |
3) also ist x= 0 ?? 4) Ich hab das mit "dritte Wurzel ziehen" eigentlich noch nie richtig kapiert, geschweige denn, wie man das im Kopf berechnet.. |
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24.01.2012, 20:21 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
3) Ja genau Probe: f(x)= 5^(2x)-1 -> f(0)=5^(2*0)-1=1-1=0 4) Naja "im Kopf rechnen" ist ja hier vorerst nicht nötig. Du musst es halt erst mal machen. Du weißt wie man eine Wurzel in Potenzschreibweise formuliert? Damit lässt es sich sehr leicht erklären . |
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24.01.2012, 20:45 | Ninuzz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also 4) Hab jetzt: x= (dritte wurzel aus -5) / (2) Weiß jetzt aber nicht wie man es weiter vereinfacht. Ist das richtig ? |
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24.01.2012, 21:12 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn du die Wurzel komplett um -5/2 ziehst, dann ist das korrekt . Weiter rechnen brauchst du nicht. Es lässt sich nicht weiter vereinfachen. |
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25.01.2012, 21:54 | Ninuzz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay danke... Mein einzigstes Problem ist jetzt noch die Trigonometrische Funktion, deren Bestimmung der Nullstellen.. |
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25.01.2012, 22:36 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
Überlege dir wann die Funktion 0 wird. Überlege dir für welche x'en das der Fall ist |
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26.01.2012, 19:52 | Ninuzz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also bei f(x)= sin(x) sind die Nullstellen bei "pi" , "zwei pi" , "minus pi" usw... Aber was mach ich wenn ich eine Funktion wie f(x)= sin(2x) habe oder f(x)= 2sin(x) ?? |
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26.01.2012, 20:06 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Nullstellen von sin(x) sind also immer bei x=k*pi. k ist dabei immer ganzzahlig! Für deine zweite Funktion 2sin(x) ergibt sich natürlich das gleiche. Für sin(2x) behalte wieder im Hinterkopf, dass wir bei pi*k eine Nullstelle haben. Für x=pi/2 hätten wir dann wohl also schon mal eine Nullstelle . Genaus für 3/2*pi etc. Was muss also für x gelten? |
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