Nullstellen von Funktionen berechnen

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Ninuzz Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen von Funktionen berechnen
Hallo an alle,


das Abitur rückt immer näehr und bin in der Vorbereitungphase in Mathematik.

Hab jetzt Fragen zu der Berechnung von Nullstellen von Funktionen.

1) Ganzrationale Funktionen

Bsp: f(x)=x^4+x^3+x^2+x

Wie gehe ich hier vor ?

2) Trigonometrische Funktionen

Bsp: f(x) sin(x)

Wie gehe ich hier vor ?

3) Natürliche Exponentialfunktionen

Bsp: f(x)= 5^x

Wie gehe ich hier vor ?

4) Potenzfunkionen

Bsp: f(x)= x^3

Wie gehe ich hier vor ?

5) Gebrochenrationale Funktionen

Bsp: f(x)= 1/x

Wie gehe ich hier vor ?


Danke für die Hilfe smile

LG Ninuzz
Ebbe Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ninuzz,

An sich geht man immer gleich vor, nämlich indem man die bei der Funktion die man hat f(0) ausrechnet...d.h. du setzt einfach immer für x 0 ein....

1) f(x)=x^4+x^3+x^2+x

--> f(0)= 0^4+0^3+0^2+0 = 0 --> N(0/0)

2) f(x)=sin(x)

--> f(0)= sin(0) und wenn du weißt wie der sinus aussieht folgt erstmal = 0 und da sich der sinus nach 2pi immer wiederholt gilt: N(0+2pi/0)

3) f(x)= 5^x

--> f(0) =5^0=1

4) f(x)= x^3

--> f(0)= 0^3 = 0

5) f(x)= 1/x

Da hast du dir jetzt eine blöde FUnktion rausgesucht, da f(0) nicht definiert ist ( du darfst nicht durch null teilen)...

hoffe ich konnte dir helfen smile

Liebe Grüße

Jasmin
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

@Ebbe: Unter Nullstelle versteht man jene x-Werte, die eingesetzt in eine Funktion f den Funktionswert Null liefern.
Wir suchen also die Schnittpunkte mit der x-Achse, nicht wie du es machst, mit der y-Achse.


Aber eigene Ideen wirst du wohl haben, Ninuzz...wenn nicht, sehe schlecht ich für dein
Abitur Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du setzt bei jedem Funktionstypen die Funktion = Null.

Bei 1) Kannst du ausklammern

bei 2) Substitution


bei 3) Logaritmus

bei 4) Wurzel ziehen

bei 5) Wird nicht Null, da du den Zähler nicht Null setzen kannst, was du sonst tuen würdest aber hier ist keine Möglichkeit das es Null wird.


Und hat es dir geholfen? Ich denke nicht.
Poste am besten erst deine eigenen Gedanken und wir rechnen alle nacheinander einmal durch. Augenzwinkern


Edit: Da habe ich wohl ein wenig zu lange gebraucht.
Bin raus. Wink
Ebbe Auf diesen Beitrag antworten »

Oh gott....totalen Denkfehler gehabt!!...Natürlich Big Laugh

ich habe heute schon zuviel Physik gelernt

Sorry
Ninuzz Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

Danke hat mir schon sehr weitergeholfen smile ))

Ja okay hab ja auch ganz einfache Funktionen hingeschrieben Big Laugh

Wie wäre es denn mit Parametern ?

z.B.

1) f(x)= 5x^4+3x^3+6x^2+3x+2

2) f(x)= sin(2x) oder f(x)= 2sin(x)

3) f(x)= 5^2x-1

4) f(x)= 2x^3+5

5) f(x)= (x+5)^2 / x^3-3

????

Danke schonmal smile

LG Ninuzz
 
 
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es gibt kein "allgemeins Rezept" wie man die Nullstellen leicht errechnen kann.

Bei einem Polynom (wie bei dir die 1)) könnte man zum Beispiel mit der
Polynomdivision ansetzen. Doch wäre da keine 2, könnte man auch erst ausklammern.
Substitution und Mitternachtsformel sind weitere Lösungsvarianten (die bei
deiner Beispielfunktion natürlich (bisher) keinen Sinn machen).

2) Überlege dir, wann der Sinus 0 ist. Beachte die Periode und das es mehr als eine
Lösung geben kann Augenzwinkern .

3) Wurzel ziehen ist hier natürlich sinnfrei, da glaube mal Gmasterflash nicht Augenzwinkern .
Logaritmen sind hier das Stichwort.
Aber auch hier gibt es Aufgaben, bei denen man sich leichter tut, indem man zuerst
substituiert, etc. etc.

4) Das ist ja dasselbe wie die 1). Ein Polynom. In diesem Spezialfall kannst du die Wurzel ziehen.

5) Es ist nur der Zähler von Belang (und dann sind wir wieder bei 1)). Den Nenner
musst du nur in sofern betrachten, dass da nicht dieselbe "Nullstelle" drinsteckt wie im Zähler Augenzwinkern .

Wink
Ninuzz Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,


also 2) Trigonometrische Funktionen ist mir klar geworden..

Aber bei den anderen Aufgaben die ich mir überlegt habe komm ich trotzdem nicht weiter..
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Aufgaben genau?
Was sind deine bisherigen Ideen? smile
Ninuzz Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

also bei meiner

1) Würd ich als erstes Ausklammern, anschließend die Polynomdivision durchführen und zum Schluss die Mitternachtsformel..

2) Da tu ich mir noch ein bisschen schwer, da es ja mehrere Nullstellen hat, da hab ich noch keinen richtigen Ansatz.

3) Da würd ich den Logarithmus einsetzen also ln(5^2x-1) weiß aber nicht was da rauskommt oder wie man da weiterrechnet..

4) Da kann ich ja die dritte Wurzel draus ziehen weiß aber selbst ned wie ich da weiterkommen kanm..

5) Dasselbe wie bei 4) die dritte Wurzel ziehen aber weiter...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

1) Das Ausklammern funktioniert hier nicht! Beachte, dass du ein Glied ohne x hast!
Meine Idee bezog sich darauf, wenn du lauter Glieder mit x hast!
Hier bleibt dir vorerst nur die Polynomdivision. Zweimal wies aussieht smile .

2) Ich dachte es hätte geklappt? Wie weit biste denn bisher?

3) Du hast doch f(x)=5^x-1=0.
Bringe alles ohne x auf die eine Seite. Erst dann nimm den Logarithmus Augenzwinkern .
Du hättest sonst ln(5^x-1)=ln(0). Das ist nicht erlaubt!

4) Denke auch hier dran, dass du eine Gleichung hast! Alles ohne x auf die eine Seite! Augenzwinkern

5) Wurzel ziehen kann man schon machen (aber nicht die dritte!). Aber du hast ja
schon die Linearfaktoren dastehen. Du kannst das Ergebnis eigentlich direkt ablesen^^
(Wie gesagt, den Nenner brauchst du nicht weiters zu betrachten. Die Nullstellen des
Nenners unterscheiden sich von denen im Zähler Augenzwinkern ).
Ninuzz Auf diesen Beitrag antworten »

Also zu

1) Im diesjährigen Abitur wird die Polynomdivision gar nicht verlangt...

2) Ich könnt bei f(x)= sin(x) einfach die pi-Werte ablesen abermit Parametern ?

3) Wie kann ich denn von f(x)= 5^x-1 das x auf eine Seite bekommen ? Da muss ich doch den Logarithmus anwenden ?

4)Da ist es ja genauso wie bei 3)..

5) ja dann gibts ja x^3 = -3 dann ist das Ergebnis die dritte Wurzel aus -3 ??
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

1) Im diesjährigen Abitur wird die Polynomdivision gar nicht verlangt...

Wie bitte? Ein Scherz? Wie wollt ihr dann Aufgaben lösen die über die 2te Potenz hinausgehen?
Naja, ich richte mich nach dir/dem Schulsystem geschockt unglücklich .
Ausnahmsweise freue ich mich schon ein gewisses Alter zu haben...

2) Ja, das mit den "pi-Werten" geht schon in die richtige Richtung. Du musst
dir überlegen für welche x der Sinus 0 wird. Das dann angleichen Augenzwinkern .

3) Naja, die 1 wirste wohl auf die andere Seite bekommen Augenzwinkern .
Dann den Logarithmus.

4) verwirrt Der Logarithmus hat hier nichts verloren! Bring alles ohne x auf die andere Seite.
Dann die Wurzel.

5) Der Nenner bleibt irrelevant...
Und hast du x³-3=0, so folgt daraus ohnehin nicht x³=-3!

Der Zähler (das was oben steht) ist von Belang!
Ninuzz Auf diesen Beitrag antworten »

1) Ja so stehts überall aber ich lern es trotzdem dazu...

3) Hab die Funktion wohl falsch ausgedrückt.. f(x) 5^(x-1) also das x-1 ist die Potenz..

4) Hab ich dasselbe Problem wie bei 3)..

5) (x+5)^2 ist der Zähler (bin bisschen durcheinander gekommen)
Also x^2+10x+10 und hier dann die Mitternachtsformel anwenden ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

1) Schaden tuts in keinem Falle! Augenzwinkern

3) Ahh ok! Klammersetzung nie vergessen!
Eine reine Potenzfunktion wird nie 0. Du bist also fertig

4) Warum vergleichst du immer 3) und 4). Das sind zwei grundlegend verschiedene
Funktionen! Die kann man (so gut wie) nicht vergleichen!
Wie lautet die Aufgabe: 2x^3+5=0 oder 2x^(3+5)=0?
Wurzelziehen, so oder so, ist hier das Stichwort! Augenzwinkern

5) 5² ist nicht 10! Augenzwinkern , sonst aber ja. Doch das ist wie wenn man eine Fliege mit einer
Panzerfaust jagen will Big Laugh . Aber rechne es erst mal so. Danach zeige ich dir einen
anderen Weg Augenzwinkern .
Ninuzz Auf diesen Beitrag antworten »

3) Gibts bei Potenzfunktionen überhaupt Nullstellen und wie errechnet man die ?

4) f(x)=2x^3+5 wars.. Aber wenn man einmal die Wurzel zieht dann komm ich immernoch nicht auf das Ergebnis..

5) Was wäre denn der andere Weg ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

3) Wenn du keine reine Potenzfunkion hast, durchaus. Das hatte ich dann auch
schon erwähnt -> Logarithmus.
Bsp.: 5^(2x)-1=0
-> 1 auf die andere Seite bringen, Logarithmus anwenden.

4) Ja zeig doch mal wie du vorgehst. So sehe ich da nicht viel?!

5) Die Potenz ist doch nichts anderes als eine verkürzte Produktschreibeweise: x*x=x².
Du hast also ein Produkt vorliegen. Da gilt: Ist ein Faktor 0, so ist es das ganze Produkt.
Damit lässt sich deine Nullstelle direkt ablesen Augenzwinkern .
Ninuzz Auf diesen Beitrag antworten »

3) 2x = log(1) / log(5) oder ??

4) 2x^3+5 -> 2x^3 = -5 -> x^3 = -2,5 -> x^2 = wurzel(-2,5) ??

5) Als Lösung hab ich jetzt x= -5. Ist das richtig ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

3) Ja das ist richtig. Erinnere dich: log(1)=0 Augenzwinkern

4) Hmm, warum nimmst du nur die "normale" Wurzel? Du hast doch bei dem x, die
dritte Potenz stehen. Nimm also die dritte Wurzel Augenzwinkern .

5) Yep genau Freude
Ninuzz Auf diesen Beitrag antworten »

3) also ist x= 0 ??

4) Ich hab das mit "dritte Wurzel ziehen" eigentlich noch nie richtig kapiert, geschweige denn, wie man das im Kopf berechnet..
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

3) Ja genau Freude
Probe: f(x)= 5^(2x)-1 -> f(0)=5^(2*0)-1=1-1=0

4) Naja "im Kopf rechnen" ist ja hier vorerst nicht nötig. Du musst es halt erst mal machen.

Du weißt wie man eine Wurzel in Potenzschreibweise formuliert? Damit lässt es sich
sehr leicht erklären smile .
Ninuzz Auf diesen Beitrag antworten »

Also 4)

Hab jetzt:

x= (dritte wurzel aus -5) / (2)

Weiß jetzt aber nicht wie man es weiter vereinfacht.

Ist das richtig ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Wurzel komplett um -5/2 ziehst, dann ist das korrekt Augenzwinkern .
Weiter rechnen brauchst du nicht. Es lässt sich nicht weiter vereinfachen.
Ninuzz Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke...

Mein einzigstes Problem ist jetzt noch die Trigonometrische Funktion, deren Bestimmung der Nullstellen..
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege dir wann die Funktion 0 wird. Überlege dir für welche x'en das der Fall ist Augenzwinkern
Ninuzz Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei f(x)= sin(x) sind die Nullstellen bei "pi" , "zwei pi" , "minus pi" usw...

Aber was mach ich wenn ich eine Funktion wie

f(x)= sin(2x) habe

oder

f(x)= 2sin(x)

??
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstellen von sin(x) sind also immer bei x=k*pi.
k ist dabei immer ganzzahlig! Augenzwinkern
Für deine zweite Funktion 2sin(x) ergibt sich natürlich das gleiche.

Für sin(2x) behalte wieder im Hinterkopf, dass wir bei pi*k eine Nullstelle haben.
Für x=pi/2 hätten wir dann wohl also schon mal eine Nullstelle Augenzwinkern .
Genaus für 3/2*pi etc.

Was muss also für x gelten?
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