Semidefinite Matrix |
| 15.01.2007, 13:47 | Jener_dort | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Semidefinite Matrix ich hab eine mehrdimensionale Funktion gegeben und möchte herausfinden, ob diese konvex oder konkav ist. Also.. ich hab das jetzt wie folgt gemacht.. zunächst die 2.partiellen Ableitungen der Funktion erstellt, dann eine Hesse-Matrix aufgestellt, die dann einmal vor und hinter der Matrix mit einem Vektor x multipliziert und geschaut, ob das ergebnis positiv (konvex) oder negativ (konkav) ist. Soweit die Theorie, wobei ich mir nicht sicher bin, ob dieses Vorgehen tatsächlich richtig ist.. das wäre die erste Frage. Dann die Rechnung. f(x,y)=x^2-10x+2y^2+100 wäre die Funktion Die 4 partiellen Ableitungen fxx(x,y)=2 fxy(x,y)=0 fyx(x,y)=0 fyy(x,y)=4 Hierzu eine zweite Frage, betreffs der Formalismus. Ist die Schreibweise fxx(x,y) zulässig? Ich will mit den beiden x im Index des f angeben, dass die Funktion zwei Mal nach x abgeleitet wurde. Das findet man in Büchern wieder...wie ist es mit dem "(x,y)". Ist die Funktion nach 2maliger partieller Ableitung nach x noch von y abhängig oder muss das dann weggelassen werden? Auf jeden Fall wäre nun meine Hesse-Matrix. xHfx bzw (x1,x2,x3) =2x^2+4y^2 Dies ist immer positiv, also ist die Hesse-Matrix semidefinit positiv und die Funktion somit konvex. Damit kommte ich zur dritten Frage.. ist das ganze richtig gerechnet? 
Es erscheint mir soweit schlüssig, aber bevor ich in die Klausuren gehe würde ich das ganze gerne gesichert haben. Wäre klasse, wenn jemand kurz drüberschaun könnte und mir meine drei Fragen dazu beantworten könnte.. Dankeschön und Grüße |
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| 15.01.2007, 13:54 | Jener_dort | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mir fällt dazu gerade noch eine Frage ein. Was ist, wenn das Ergebnis nicht immer positiv ist? Wenn z.b. aus der Multiplikation der Hesse-Matrix mit dem Vektor eine Funktion wie x^2-y^2 herauskommt. Ist die Funktion für solche Fälle in den negativen Bereichen des errechneten Terms konkav und in den positiven konvex, oder kann man für derartige Ergebnisse der Hesse-Matrix keine Aussagen über das Krümmungsverhalten mehr treffen? |
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