Grenzwert eine Reihe - Vorgehensweise ?

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22.01.2012, 14:33	MatheWiwi2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert eine Reihe - Vorgehensweise ? Hallo an alle, ich hab folgendes Problem bezüglich den Grenzwerten von Reihen: Folgende Reihe ist gegeben: unendlich Summe 2*3^n / 2^2n +4 n=1 Nun soll der Grenzwert hierzu bestimmt werden, ich verzweifle fast daran..... Wer kann mir weiterhelfen ? Folgende Formel hatte ich hierzu gefunden: für q<1: Summe q^k = 1-q^n+1 / 1-q.... Nun weiß ich jedoch, wie die hier zur Anwendung kommt, um letztlich den Grenzwert zu bestimmen....
22.01.2012, 14:54	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert eine Reihe - Vorgehensweise ? Hi, damit ist die Ausnutzung der konvergenz der geometrischen Reihe gemeint. Die geometrische Reihe konvergiert für $\begin{eqnarray} -1<q<1 \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ .
22.01.2012, 15:09	MatheWiwi2012	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert eine Reihe - Vorgehensweise ? Die Formel ist mir nun klar, nur wie wende ich diese jetzt auf die Reihe an, bzw. wie bestimme ich nun den Grenzwert der Reihe ?
22.01.2012, 15:29	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert eine Reihe - Vorgehensweise ? Du musst schauen ob du die Laufvariable in die Form bekommst das sie $\begin{eqnarray} -1<q<1 \end{eqnarray}$ ist. Dann kannst du nämlich den Ausdruck in $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ einsetzen und kannst damit den Grenzwert berechnen.
22.01.2012, 15:42	MatheWiwi2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen Dank schon Mal. Und wie funktioniert das technisch ? Ich kann mir das überhaupt nicht erklären, was ich da zu tun habe.....
22.01.2012, 15:45	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2\cdot 3^k}{2^{2k}+4} \end{eqnarray}$ Ist die Reihe so korrekt aufgeschrieben?
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22.01.2012, 15:59	MatheWiwi2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig, nur die 4 im Nenner muss zum Index dazu 2^(2n+4).
22.01.2012, 16:15	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2\cdot 3^k}{2^{2k+4}} \end{eqnarray}$ Wie kann man denn den Nenner noch umschreiben?
22.01.2012, 16:24	MatheWiwi2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Nenner könnte man so umformulieren: 4^(k+4), bzw. 4^k*4^4 oder ?
22.01.2012, 16:49	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja korrekt, nun zieh mal die Werte aus dem Bruch raus, die keine Laufvariable enthalten und du siehst das du auf einen Ausdruck kommst, der $\begin{eqnarray} -1<q-1 \end{eqnarray}$ ist.
22.01.2012, 17:02	MatheWiwi2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Werte die keine Variable erhalten rausgezogen ergibt: 2/256 = 1/128 Ist dann q = 1/128 ?
22.01.2012, 17:03	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht denn dann die Reihe aus?
22.01.2012, 17:24	MatheWiwi2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schaut sie (glaube ich) so aus: 1/128 * Summe 3^k/4^k .......
22.01.2012, 17:47	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, korrekt! $\begin{eqnarray} \frac{1}{128}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3^k}{4^k} \end{eqnarray}$ Nun musst du noch eine Sache bedenken und zwar das die geometrische Reihe bei $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ beginnt. Du musst also das $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ starten lassen und nicht bei $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Dann kannst du mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ den Grenzwert berechnen indem du $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ einsetzt und mit den übrigen Wert multiplizierst. hangman!
22.01.2012, 20:47	MatheWiwi2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, so weit hab ich das jetzt komplett verstanden :-) Muss ich dann, wenn die Reihe bei k=0 startet, den Ausdruck noch wie folgt ändern ?: unendlich 1/128 Summe 3^(k+1) / 4^(k+1) k=0 Was muss ich dann für k einsetzen ?
22.01.2012, 21:00	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist wohl geschickter wenn du den Wert einfach drauf addierst.
22.01.2012, 21:22	MatheWiwi2012	Auf diesen Beitrag antworten »
zu den 1/128 addieren ?
22.01.2012, 21:31	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Du addierst einfach für $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ den Wert drauf, dann musst du keine Indexverschiebung machen und kannst bei $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ starten.
22.01.2012, 21:43	MatheWiwi2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das Ganze mit Indexverschiebung jetzt mal schriftlich festgehalten..... Laut Lösung soll: 3/8 rauskommen..... Ich komme da nicht drauf, wo ist denn mein Fehler ?
22.01.2012, 22:23	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, du musst den Wert natürlich subtrahieren und nicht addieren... Eventuell kann mal jemand drüber schauen, ich bin nun weg.

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