normalverteilung gegeben; Wahrscheinlichkeit für S² berechnen

22.01.2012, 14:44

Beta2k

normalverteilung gegeben; Wahrscheinlichkeit für S² berechnen

Meine Frage:
die angabe ist wie folgt:
Normalverteilung N(2.5,6)
n=10

Frage: Berechnen Sie a) Wahrscheinlichkeit P(30 <= S² <= 44) und b) P(1.3 <= X(quer) <= 3.5 ; 30 <= S² <=44)

Meine Ideen:
ich glaube, dass die rechnung sehr einfach ist. aber irgendwie fehlt mir total ein grundlegender ansatz. ich weiß, wie man von einer allgemeinen Normalverteilung auf eine Standardverteilung N(0,1) kommt, aber das hilft mir hier auch (noch) nicht weiter.

22.01.2012, 14:47

Gast11022013

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RE: normalverteilung gegeben; Wahrscheinlichkeit für S² berechnen
Normalerweise kann man das auf die Standardnormalverteilung zurückführen und das dann schön in der Tabelle ablesen...

Edit: Was soll das $\begin{eqnarray*} S^2 \end{eqnarray*}$ sein?

22.01.2012, 15:02

Beta2k

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RE: normalverteilung gegeben; Wahrscheinlichkeit für S² berechnen

Zitat:

Original von Dennis2010
Normalerweise kann man das auf die Standardnormalverteilung zurückführen und das dann schön in der Tabelle ablesen...

genau das denke ich mir auch.
ich bin mir nur nicht sicher, ob es hier dann einen unterschied macht, weil in meinem beispiel S² imd X(quer) gefragt sind.

das zurückführen auf die standardnormalverteilung würde ich dann so wie hier dargestellt machen, oder? de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung#Rechnen_mit_der_Standardnormalverteilung
aber wo kommt dann die stichprobengröße aus der angabe (n=10) ins spiel?

wie gesagt, würde ich gerne wissen, ob es hier dann egal ist, welche Werte ich berechnen will (S² und/oder X(quer)), oder ob ich das für beide gleich mache.

kann erst wieder in circa 2h probieren. würde mich über weitere tips freuen smile

22.01.2012, 15:10

beta2k

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S² ist eine "Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit"

22.01.2012, 18:02

Black

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$\begin{eqnarray*} S²:=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i -\overline{X})^2 \end{eqnarray*}$

Edit: entfernt, nutze den Ansatz von HAL

22.01.2012, 18:06

HAL 9000

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Hinweis: Bei unabhängigen, identisch $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilten $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ ist die (normierte) empirische Varianz $\begin{eqnarray*} (n-1)\frac{S^2}{\sigma^2} \end{eqnarray*}$ Chiquadratverteil mit n-1 Freiheitsgraden, d.h. $\begin{eqnarray*} (n-1)\frac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Das werfe ich hier nur ein, weil der letzte Beitrag verdammt danach klang, als wäre auch $\begin{eqnarray*} S^2 \end{eqnarray*}$ normalverteilt - was es nicht ist.

EDIT: Sorry, es waren noch einige "Normierungsfehler" drin - nunmehr korrigiert.

22.01.2012, 18:14

Black

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Das ist mir durchaus bewusst, aber danke für den Hinweis dass man meinen Beitrag evtl. missverstehen kann smile

22.01.2012, 18:17

HAL 9000

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Dann entschuldige das "Misstrauen", aber das mit dem $\begin{eqnarray*} Var(S^2) \end{eqnarray*}$ hat mich schon ziemlich irritiert: Ok, man kann es berechnen (hängt ja auch nur von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ab), aber ich wüsste nicht, wozu man das bei der Standardisierung braucht.

22.01.2012, 18:34

Black

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Ja, du hast recht - ich seh jetzt was du meinst, ich entferne den entsprechenden Abschnitt.

Am einfachsten geht es natürlich wenn man direkt über die $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ Verteilung geht.

(Ich hatte irgendwie fälschlicherweise im Kopf dass man hier nur über die Normalverteilung gehen sollte und wollte einen asymptotischen Ansatz bringen - was aber bei n=10 sowieso quatsch wäre, ich hab hier die notwendige Sorgfalt missen lassen, danke für deinen berechtigten Einwand)

22.01.2012, 22:59

beta2k

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Zitat:

Original von HAL 9000
Hinweis: Bei unabhängigen, identisch $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilten $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ ist die (normierte) empirische Varianz $\begin{eqnarray*} (n-1)\frac{S^2}{\sigma^2} \end{eqnarray*}$ Chiquadratverteil mit n-1 Freiheitsgraden, d.h. $\begin{eqnarray*} (n-1)\frac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Das werfe ich hier nur ein, weil der letzte Beitrag verdammt danach klang, als wäre auch $\begin{eqnarray*} S^2 \end{eqnarray*}$ normalverteilt - was es nicht ist.

EDIT: Sorry, es waren noch einige "Normierungsfehler" drin - nunmehr korrigiert.

danke an euch erstmal für die ausgedehnte hilfe.

ich weiß leider nach wie vor nicht wie ich P(30<=S²<=44) berechnen soll für die Verteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(2.5,6) \end{eqnarray*}$ . und n=10.
ich habe nur eine Tabelle für die Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung. abre die brauch ich hier nicht, oder?

die formel $\begin{eqnarray*} S²:=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i -\overline{X})^2 \end{eqnarray*}$ bringt mir glaub ich nix, weil ich keine $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ in der Angabe habe...

23.01.2012, 22:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von beta2k
ich habe nur eine Tabelle für die Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung. abre die brauch ich hier nicht, oder?

Zur Not lässt sich mit der was machen, aber eigentlich brauchst du deren "Umkehrung", d.h., eine Tabelle der direkten Verteilungsfunktionswerte von $\begin{eqnarray*} \chi_{n-1}=\chi_9 \end{eqnarray*}$ .

Bei b) hilft übrigens, dass bei deinen Voraussetzungen (also i.i.d. $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ ) der Mittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ und die empirische Varianz $\begin{eqnarray*} S^2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind. Diese Aussage hattet ihr vermutlich schon? Falls nicht, ein Beweis findet sich z.B. hier.

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