Ableitung 4-fache Verkettung

22.01.2012, 17:06

TobD

Ableitung 4-fache Verkettung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
diesmal komm ich leider garnicht mehr weiter unglücklich

Es geht um die Ableitung einer 4-fachen Verkettung. Hoffe ihr könnt mir recht zügig helfen. Ich schreibe nächste Woche der Klausur und bin im Moment noch eifrig am lernen.

$\begin{eqnarray*} y = \log_{e} * tan ( a^{(x^{2} + 3x) }) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also erstmal habe ich so angefangen und die einzelnen Funktionen rausgesucht, das wäre dann:

U = log e (v) -> U' = 1/v
V = tan (w) -> 1 / cos(w)
W = a ^ Z -> keine Ahnung
Z = x² + 3x -> 2x + 3

Diese Ableitung von a^(x²+3x) macht das ganze für mich unlösbar unglücklich

Hoffe ihr könnt mir helfen.

Lg
Tobi

22.01.2012, 18:35

TobD

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Ich muss noch was ergänzen:

Habe die Lösungen dafür gefunden. Dabei rauskommen muss $\begin{eqnarray*} a ^ {w} * log_{e} \end{eqnarray*}$

Kann mir das jemand erklären? Wo der log e auf einmal her kommt?!

22.01.2012, 18:45

Leopold

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Das ist aber nur die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Und ganz korrekt ist sie auch nicht. Richtig muß es

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd w} \left( a^w \right) = a^w \cdot \ln a \end{eqnarray*}$

heißen. Schreibe auch $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \log_{\operatorname{e}} \end{eqnarray*}$ . Das ist allgemein üblich.

Bei Mehrfachverkettungen einfach Stück für Stück nachdifferenzieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{\dd y}{\dd u} \cdot \frac{\dd u}{\dd v} \cdot \frac{\dd v}{\dd w} \cdot \frac{\dd w}{\dd x} \end{eqnarray*}$

Hier ist

$\begin{eqnarray*} y = \ln u \ \ \text{mit} \ \ u = \tan v \ \ \text{mit} \ \ v = a^w \ \ \text{mit} \ \ w = x^2 + 3x \end{eqnarray*}$

22.01.2012, 18:49

mYthos

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Benütze

$\begin{eqnarray*} [a^{f(x)}]' = a^{f(x)} \cdot f \ '(x) \cdot \ln a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text {Diese Formel resultiert aus der Umformung } a^{f(x)} = e^{f(x) \cdot \ln a} \end{eqnarray*}$

mY+

22.01.2012, 18:56

TobD

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Hi,

danke für deine Antwort. Allerdings hab ich immernoch nicht ganz verstanden wieso, weshalb und warum da jetzt ein ln steht?! Bei einer quadratischen Funktion z.B. steht ja auch x² . Wenn ich das ableite steht da auch nicht x ² * ln (2) . Ich bin verwirrt unglücklich

P.s.: hab jetzt mal ein stück aus der vorlesung rausgeschnitten. Also so wie du sagtest ist das, was hier im angehängten bild steht also falsch?

[attach]22797[/attach]

Lg Tobi

22.01.2012, 19:02

Leopold

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Hier wurde noch die trigonometrische Beziehung

$\begin{eqnarray*} \sin v \cdot \cos v = \frac{1}{2} \sin (2v) \end{eqnarray*}$

verwendet. Allerdings muß es im Exponenten von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} x^2 + 3x \end{eqnarray*}$ heißen, nicht $\begin{eqnarray*} 2x^2 + 3x \end{eqnarray*}$ .

22.01.2012, 19:09

TobD

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Hallo,

das mit dem Sinus und Cosinus ist mir geläufig. Aber immernoch nicht wieso ich den ausdruck a^w mit logarithmus ableiten muss.... wie geasgt. bei x² mach ich ja schließlich auch nicht x² * ln (x)

desweiteren würde ich gern wissen, ob das log e in der ableitung falsch ist oder ob da ln stehen muss im skript?

mfg

22.01.2012, 19:13

Leopold

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Potenzfunktion

Exponentialfunktion

$\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \log_{\operatorname{e}} \end{eqnarray*}$ ist dasselbe.

22.01.2012, 19:21

TobD

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Okay, das ist schonmal etwas.
Und jetzt nochmal:

Wieso kann ich nicht einfach schreiben $\begin{eqnarray*} (2x + 3) * a ^ {x^{2} + 3x} \end{eqnarray*}$ ? Nach der Kettenregel, innere mal äußere?

Lg

22.01.2012, 19:24

Leopold

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Du stellst hier einen Zusammenhang her, den es nicht gibt. Das $\begin{eqnarray*} 2x + 3 \end{eqnarray*}$ kommt von $\begin{eqnarray*} \frac{\dd w}{\dd x} \end{eqnarray*}$ .

22.01.2012, 19:34

TobD

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Ja, aber die Funktion W ist doch die innere Funktion der Funktion $\begin{eqnarray*} a^{w} \end{eqnarray*}$ . Falls das nicht so der Fall ist, bitte ich um nähere Erläuterung und auch ebenfalls eine Erläuterung wo das ln auf einmal her kommt. Ich mein, ich kann zwar einfach bei jeder Ableitung einfach f(x) * ln (basis) hinklatschen, aber gewonnen habe ich dadurch nichts wenn ich nicht verstehe warum.

danke

lg

22.01.2012, 19:58

Leopold

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Das $\begin{eqnarray*} \ln a \end{eqnarray*}$ hat nichts mit der inneren Funktion $\begin{eqnarray*} w = x^2 + 3x \end{eqnarray*}$ der Exponentialfunktion zu tun, sondern kommt von der Exponentialfunktion selbst. Das stand schon hier:

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd w} \left( a^w \right) = a^w \cdot \ln a \end{eqnarray*}$

Die Herleitung steht im verlinkten Wikipedia-Artikel. Sie beruht auf der Beziehung

$\begin{eqnarray*} a^t = \operatorname{e}^{\ln \left( a^t \right)} = \operatorname{e}^{t \cdot \ln a} \end{eqnarray*}$

Damit ist die Exponentialfunktion zur Basis $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als Verkettung der natürlichen Exponentialfunktion (mit der Eulerschen Zahl $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ als Basis) und der linearen Funktion $\begin{eqnarray*} s = t \cdot \ln a \end{eqnarray*}$ geschrieben.

22.01.2012, 23:05

TobD

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Hallo,

Okay. Vielen Dank. Ich hatte vom ganzen lernen irgendwie ein Brett vor dem Kopf. Ich werd mir das ganze jetzt einfach auf den Formelzettel schreiben und dann sollte das schon gehen.

Danke! Wink

Lg
Tobi

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