Annuitätenrechnung

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22.01.2012, 17:06	Suchender	Auf diesen Beitrag antworten »
Annuitätenrechnung Hallo, ich habe folgende Aufgabe und kann sie leider nicht lösen. Kredit in Höhe von 30.000€ soll über 2 Jahre zu gleichen Beträgen abgezahlt werden. Verzinsung erfolgt vierteljährlich zum Quartalsende. Effektiver Zins= 9,23% a)berechnen Sie den Betrag bei vierteljährlicher Zahlweise zum Quartalsende b)berechnen Sie den Betrag bei monatlicher Zahlweise zum Monatsende. Mein Ansatz: a) vierte Wurzel aus 1,0923 = x1 (30.000 X (x1-1) X x1^8) / (x1^8 - 1) = vierteljährliche Tilgung. glaube das müsste so richtig sein. b) hier weiß ich jetzt leider nicht weiter. Muss ich da die selbe Formel wie bei a nehmen, nur dass es nicht ^8 sondern ^24 lauten muss aber ansonsten bleibt alles gleich? Wäre über eine Antwort sehr dankbar. Viele Grüße
22.01.2012, 22:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
a) ist richtig (bei quartalsmäßiger Verzinsung). b) Es kommt darauf an, wann die Zinsgutschrift erfolgt. Wenn diese monatlich erfolgt, kannst du so rechnen, wie von dir angegeben, allerdings musst du natürlich den äquivalenten Monatszinsfaktor als $\begin{eqnarray} q_{12} = \sqrt[12]{1.0923} \end{eqnarray}$ zu Grunde legen. Andernfalls, z.B. bei jährlicher Zinsgutschrift, wie oft üblich, laufen innerhalb eines Jahres lediglich einfache Zinsen auf. Dabei wird die Jahresrate aus 12 einzelnen Monatsraten mittels des relativen unterjährigen Monatszinssatzes berechnet. Siehe dazu --> Jahreszins versus eff. Jahreszins mY+
23.01.2012, 09:32	Suchender	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke schon mal für die Antwort. Eine Sache ist mir aber noch nicht ganz klar: Zu b: Laut Aufgabenstellung sollen die Zinsen pro viertel Jahr berechnet werden, die Rückzahlung der Raten (Annuitäten) aber jeden Monat. Es ist ja nach der Höhe der Raten gefragt. Ist es dann richtig wenn ich wieder die vierte Wurzel aus 1,0923 ziehe und dann aber in der Formel aus a) im Exponenten 24 stehen habe (für 24Monate)? Falls nein: wie sieht dann die Lösung aus? Danke noch mal und viele Grüße
23.01.2012, 16:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei vierteljährlicher Zinsgutschrift musst du natürlich mit dem Quartalszinsfaktor rechnen und diesen weiterhin mit dem Exponenten 8 (nicht 24) verarbeiten. Die innerhalb des Quartals auflaufenden monatlichen Zinsen sind, wie bereits beschrieben, dann linear, d.h. mit dem relativen unterjährigen Monatszinssatz (i/12), zu berechnen und hinzuzufügen. $\begin{eqnarray} i = \frac p {100} = 0,0923 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Relativer Monatszinsfaktor: } \ 1 + \frac i {12} = 1,00769 .. \end{eqnarray}$ Somit lautet die nachschüssige Quartalsrate (--> Monatsraten auf das Ende des Quartals bezogen) $\begin{eqnarray} R_4 = R + R \cdot (1 + \frac i {12}) + R \cdot (1 + \frac {2i}{12}) = R \cdot (3 + \frac i 4) = 3,023075 \cdot R \end{eqnarray}$ wenn R die zu berechnende Monatsrate ist. mY+
23.01.2012, 18:58	Suchender	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das leuchtet mir ein mit der mtl Verzinsung. Die Formel allerdings noch nicht wirklich! Müsste es nicht r+ r X ( 1+ i / 12) + r X (1 + i /12) + r X (1+ i/12) heißen? Und dann R4 / r für die mtl Rate? Bin verwirrt!
23.01.2012, 19:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz setzt voraus, dass alle 3 Monatsraten die gleichen Zinsen, nämlich die für 1 Monat abwerfen. Das ist aber nicht der Fall, denn die Zahlungen erfolgen ja zu verschiedenen Zeitpunkten und haben deswegen auch verschieden Laufzeiten. Dies muss berücksichtigt werden. Du kannst die drei nachschüssig erfolgenden monatlichen Raten r innerhalb des Quartals einzeichnen und diese durch deren Endwert (am Ende des Quartals) ersetzen. Die zuletzt erfolgte Rate wird gar nicht, die vorletzte 1 Monat und die vorvorletzte 2 Monate verzinst. Daher setzen sich die Zinsen wie zuvor beschrieben auf diese Weise zusammen. mY+
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23.01.2012, 22:56	Suchender	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann dürfte es aber doch nicht (1+2i/12) sondern müsste (1+i/11) heißen?? Woher kommt denn der Term (1+2i/12)? Zudem habe ich dann ja wieder Quartalsraten. Ich brauche aber die Monatsraten. Langsam macht mich diese Aufgabe wahnsinnig.
24.01.2012, 00:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es heisst deswegen 2i/12, weil die 1. Rate (im Quartal) 2 Monate bis zum Ende des Quartals Zeit hat, sich zu verzinsen. i/11 kann keinesfalls richtig sein, denn 1/11 des Jahres ist sicher nicht ein Verzinsungszeitraum. Die Monatsrate bekommst du, in dem du zuerst die Quartalsrate R4 berechnest (wie ich es dir schon gezeigt habe) und diese dann durch 3,023075 dividierst. mY+
24.01.2012, 19:06	Suchender	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube jetzt habe ich es! DANKE. Eine Frage noch: werden unterjährige Zahlungen bzw. Zahlungen, die vom Berechnungszeitraum abweichen immer linear verzinst?
24.01.2012, 21:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht immer. Es kommt auf die Angabe bzw. Vereinbarung des Zinssatzes an, d.h. ob dieser ein nomineller oder effektiver Zinssatz ist. Im ersten Fall wird zur Ermittlung des unterjährigen Zinssatzes durch die Anzahl der Zeiträume im Jahr dividiert (bei Monaten eben durch 12), im zweiten muss die entsprechende Wurzel aus dem Jahreszinsfaktor (bei Monaten ist das die 12. Wurzel) berechnet werden. mY+

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