Grenzwert (1 + 1/n)^n^2

22.01.2012, 17:35

Jerdo

Grenzwert (1 + 1/n)^n^2

Hallöchen,

sitze hier vor einem Problem bei dem mir mal wieder nix einfällt so richtig.

Aufgabe:
Untersuchen sie auf Konvergenz und bestimmen sie ggf. den Grenzwert:
a) $\begin{eqnarray*} a_{n} = (1+\frac{1}{n})^{n^{2}} \end{eqnarray*}$

Okay, also das einzige, was ich weiß ist, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n})^{n} = e \end{eqnarray*}$ ist.

Hab die Folge oben mal bei wolframalpha eingehackt, leuchtet auch ein, dass der Grenzwert unendlich ist. Denn 1/n geht nicht so schnell gegen 0 wie n^2 gegen unendlich. Also steht da immer etwas größeres als null hoch ner großen zahl, also unendlich. Ebenfalls klar ist mir, dass ich das so nicht auswerten kann, weil da ja 1 hoch unendlich steht. Ich hab auch schon nen bisschen im Internet gesucht, aber die einzige Lösung, die ich dafür gefunden habe ging mit L'Hopital und den hatten wir noch nicht in der Vorlesung. Da muss es doch eine simple Möglichkeit geben?! Irgendwie den Exponenten aufteilen oder so?!

mfg
Fabian

22.01.2012, 17:37

Ungewiss

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Bernoulli

22.01.2012, 17:52

Leopold

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RE: Grenzwert (1 + 1/n)^n^2

Zitat:

Original von Jerdo
Okay, also das einzige, was ich weiß ist, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n})^{n} = e \end{eqnarray*}$ ist.

Ja, wenn du das schon weißt, dann weißt du sicher auch, daß die Folge streng monoton wächst. Also besteht die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \geq 2 \ \ \mbox{für} \ \ n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Erhebe diese Ungleichung in die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Potenz. Das ist erlaubt, weil die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Potenz auf den positiven Zahlen streng monoton wächst.

22.01.2012, 17:57

Jerdo

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Du meinst die Ungleichung?

Also:

Bernoulli:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq 1+nx \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n} )^{n^{2} } \geq 1+n^{2}\cdot \frac{1}{n} = 1+ n \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } 1 + n = \infty \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ( 1+ \frac{1}{n})^{n^{2}} = \infty \geq \lim_{n \to \infty } 1 +n = \infty \end{eqnarray*}$

So in etwa?

22.01.2012, 18:18

Jerdo

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@Leopold
Du meintest sicherlich:
$\begin{eqnarray*} ((1+\frac{1}{n})^{n})^{n} = (1+\frac{1}{n})^{n^{2}} \geq 2^{n} \end{eqnarray*}$

da
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } 2^{n} = \infty \end{eqnarray*}$

auch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n})^{n^{2}} = \infty \end{eqnarray*}$

22.01.2012, 18:35

Leopold

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Hier fehlt eine Klammer:

Zitat:

Original von Jerdo
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \color{red} ( \color{black} 1 + n \color{red} ) \color{black} = \infty \end{eqnarray*}$

So kannst du das nicht schreiben:

Zitat:

Original von Jerdo
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ( 1+ \frac{1}{n})^{n^{2}} = \infty \geq \lim_{n \to \infty } 1 +n = \infty \end{eqnarray*}$

Formuliere es wie bei der Ausführung meines Ansatzes: da ... auch ...
Ansonsten stimmt alles.

22.01.2012, 18:57

Jerdo

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Okay, danke!

Jetzt zum nächsten Problem^^

b) $\begin{eqnarray*} b_{n} = (1 + \frac{1}{n^{2}})^{n^{2}} \end{eqnarray*}$

Das geht ja irgendwie nicht genauso oder ähnlich, da die Folge ja den Grenzwert e hat. Da müsste man wenn dann eine Sandwich-Abschätzung machen. Eine Idee vielleicht? smile

22.01.2012, 19:04

Leopold

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Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert, und zwar gegen den Grenzwert der Folge.

22.01.2012, 19:18

Jerdo

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ja aber ich sehe nicht wo und wie

$\begin{eqnarray*} (1 + \frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$

eine Teilfolge sein soll. Das ist doch die Teilfolge auf die du hinaus willst? Da der Grenzwert bekannt ist?!

Ach ich Idiot, klar ist ja vollkommen egal, ob da nun n oder n^2 steht. Ja ich sehs^^

22.01.2012, 19:22

Leopold

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