Maximum-Likelihood-Methode

22.01.2012, 20:41

japr0

Maximum-Likelihood-Methode

Meine Frage:
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe zu der Maximum-Likelihood-Methode; allerdings finde ich mein Ergebnis ein wenig merkwürdig und wollte Fragen ob mir jemand von euch sagen kann, wo ich Quatsch gemacht habe smile

Meine Ideen:
Also gegeben ist die Dichte $\begin{eqnarray*} f_\alpha(x) = \frac{\alpha}{x^{\alpha+1}} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x \in [1,\infty[ \end{eqnarray*}$ , sonst ist der Wert 0.

Dann habe ich die Likelihood-Funktion aufgestellt
$\begin{eqnarray*} L_k(\alpha) = \prod_{i=1}^n \frac{\alpha}{x_i^{\alpha+1}} = \alpha^n \frac{1}{\prod_{i=1}^n x_i^{\alpha+1}} = \alpha^n \frac{1}{(\prod_{i=1}^n x_i)^{\alpha+1}} = \alpha^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{-\alpha-1} \end{eqnarray*}$

Und damit dann Folgendes gemacht (habe den Logarithmus auf die Funktion angewandt):
$\begin{eqnarray*} \overline{L}_k(\alpha) = log_{\prod_{i=1}^n x_i} \alpha^n -\alpha - 1 = \frac{\log{\alpha^n}}{log_{\prod_{i=1}^n x_i}} - \alpha - 1 \end{eqnarray*}$

Demnach ist dann die Ableitung:
$\begin{eqnarray*} \overline{L'}_k(\alpha) = \frac{n}{\alpha \log{\prod_{i=1}^n x_i}} -1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{n}{\log{\prod_{i=1}^n x_i}} \end{eqnarray*}$

Und das find ich doch sehr komisch, weil es für mich überhaupt keinen Sinn ergibt smile

22.01.2012, 20:50

Black

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RE: Maximum-Likelihood-Methode

Zitat:

Original von japr0

Und damit dann Folgendes gemacht (habe den Logarithmus auf die Funktion angewandt):
$\begin{eqnarray*} \overline{L}_k(\alpha) = log_{\prod_{i=1}^n x_i} \alpha^n -\alpha - 1 = \frac{\log{\alpha^n}}{log_{\prod_{i=1}^n x_i}} - \alpha - 1 \end{eqnarray*}$

Ich kann nicht nachvollziehen was du hier machst (stimmt vielleicht auch was mit der Formatierung nicht ?)
Fest steht auf jeden Fall dass du den Logarithmus falsch angewandt hast

Edit: Deine Ableitung (und damit auch dein Endergebnis) ist allerdings wieder richtig (lässt höchstens noch etwas "schöner" schreiben) - hast du dich nur beim abtippen von der Log-Likelihood vertan?

22.01.2012, 22:35

japr0

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erst einmal danke für die super schnelle Antwort! (teilweise war die LaTeX-Formatierung tatsächlich falsch)

Mein $\begin{eqnarray*} {\prod_{i=1}^n x_i} \end{eqnarray*}$ ist ja in der Likelihood-Funktion konstant, dann bin ich auf das
$\begin{eqnarray*} \overline{L}_k(\alpha) \end{eqnarray*}$ bin ich gekommen mit:

$\begin{eqnarray*} \overline{L}_k(\alpha) = log_{\prod_{i=1}^n x_i}(\alpha^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{-\alpha-1}) \end{eqnarray*}$

Eigentlich war meine Idee da dann diese Regel :
$\begin{eqnarray*} log_c{x} = \frac{\log x}{\log c} \end{eqnarray*}$
anzuwenden.

Und so bin ich von
$\begin{eqnarray*} \overline{L}_k(\alpha) = log_{\prod_{i=1}^n x_i} \alpha^n -\alpha - 1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \frac{\log \alpha^n}{\log{\prod_{i=1}^n x_i}} - \alpha - 1 \end{eqnarray*}$
gekommen.
Wenn man das dann ableitet, gelangt man zu der angegebenen Ableitung. Wenn die stimmt und die Anwendung meiner Regel falsch war, so ist es wohl Zufall smile

EDIT:
Ich habe vorhin gesehen, dass man das Ergebnis noch zu $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sum_{i=1}^n \log(x_i)} \end{eqnarray*}$ umschreiben kann. Das gefällt mir auf jeden Fall schonmal irgendwie mehr ;-)

22.01.2012, 22:47

Gast11022013

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Anscheinend hast Du n iid ZV vorliegen, solltest Du auch dazu schreiben.

Nur mal so am Rande.

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