lipschitz-stetig

15.01.2007, 16:06

Knoxh

lipschitz-stetig

wieso ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ nicht lipschitz stetig in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ >=0 ?

ich wähle einfach die lipschitz konstante 1000000 und dann funzt das immer, oder rall ich das ganze prozedere nicht???

im intervall [a, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) ist es dann lipschitz stetig mit a>0 ?!? ich verstehe da gar nix mehr.

verwirrt

15.01.2007, 16:11

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wie sehen denn die Funktionen für beliebige n aus? Wie verlaufen sie auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Wenn du eine rechnerische Begründung haben willst. Lipschitz-stetig bedeutet, dass die Ableitung der gegebenen Funktion beschränkt ist. Wie ist es hier?

15.01.2007, 16:25

Knoxh

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f:R>=0 --> R def. durch f(x):= n-te wurzel aus x für alle n >=2

zeige dass f nicht lipschitz stetig in R>=0
zeige dass f L-s in jeden intervall [a,unendlich) mit a>0

15.01.2007, 16:29

Dual Space

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RE: lipschitz-stetig

Zitat:

Original von Knoxh
ich wähle einfach die lipschitz konstante 1000000 und dann funzt das immer,

Nö! Gegenbeispiel gefällig?

n=2, $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=7\cdot 10^{-5} \end{eqnarray*}$

15.01.2007, 16:31

Knoxh

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ahja, nun check ich gar nix mehr

15.01.2007, 16:38

Dual Space

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Versteh doch mal - die erste Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ ist ja grade gleich $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{n x^{(n-1)/n}} \end{eqnarray*}$ . Und es gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+}f'(x)=\lim_{x\to 0+}\frac{1}{n x^{(n-1)/n}}=\infty \end{eqnarray*}$

MaW: Die Ableitung wird beliebig groß, je näher du an die Null rückst, daher kann diese Funktion nicht Lipschitz-stetig auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ sein.

15.01.2007, 17:52

Knoxh

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ah, mit diesem satz hab ich es nun gelöst:
"eine auf einem intervall differenzierbare fkt ist dorf genau dann lipschitz-stetig, wenn ihre ableitung beschränkt ist"

dann hab ich für lim -->0 und lim -->unendlich

und für gegen 0 ist das unendlich => nicht stetig

also VIELEN DANK

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