MInimalpolynom der 12.ten Einheitswurzel bestimmen

23.01.2012, 11:37

Quad84

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MInimalpolynom der 12.ten Einheitswurzel bestimmen

Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} z = e^{2\pi i/12} \in C \end{eqnarray*}$

Bestimme das Minimalpolynom von z über Q!

Als Musterlösung wurde nun folgendes angegeben:

Aus $\begin{eqnarray*} x^{12} - 1 \end{eqnarray*}$ = Produkt von phi(x) (für d|12) ergibt sich das Minimalpolynom:
$\begin{eqnarray*} x^{4} -x^{2} +1 \end{eqnarray*}$

Wer kann mit mir zusammen den Lösungsweg nachvollziehen? Gibt es da eine allgemeine Herangehensweise, die ich das Polynom bestimmen kann?

23.01.2012, 12:09

ollie3

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RE: MInimalpolynom der 12.ten Einheitswurzel bestimmen
hallo quad,
solche aufgaben führen dann zu den sogenannten "Kreisteilungspolynomen",
so lautet z.B. das 12.kreisteilungspolynom x^4-x^2+1. Am besten du liest
dir das bei wikipedia durch, dort wird das ausführlich erklärt und eine liste der
ersten 20 kreisteilungspolynome gegeben.
gruss ollie3

27.01.2012, 12:12

Quad84

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Ok, ich habe mir das Thema durchgelesen. Mein Problem ist aber, dass ich dieses Minimalpolynom ja selbständig bestimmen will. Also nicht die vorgegebenen Kreisteilungspolynome bei wiki verwenden möchte/darf.
Wie mache ich das genau?

Hier haben wir ja:
$\begin{eqnarray*} x^{12} -1 = (x^{6}+1)*(x^{6}-1)= (x^{6}+1)*((x^{3}+1)(x^{3}-1)) \end{eqnarray*}$

Und wie mache ich nun weiter?

Kann ich z = 1 setzen, als NST? Und dann rechnen:
$\begin{eqnarray*} (x^{6} - 1) : (x-1) \end{eqnarray*}$

27.01.2012, 12:21

galoisseinbruder

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Zitat:

Kann ich z = 1 setzen, als NST? Und dann rechnen: $\begin{eqnarray*} (x^{6} - 1) : (x-1) \end{eqnarray*}$

Da z eine NST ist: ja.
Man kann auch noch eine andere NST sehen.

Edit: Das Ganze wird dir aber nicht viel bringen, da ja $\begin{eqnarray*} X^6-1=(X^3-1)(X^3+1) \end{eqnarray*}$ .
Schau dir lieber $\begin{eqnarray*} X^6+1 \end{eqnarray*}$ an. Zwei komplexe NST sind relativ leicht zu sehen.

27.01.2012, 12:26

Quad84

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Eine weitere NST müsste ja z = -1 sein, oder?

27.01.2012, 12:32

Quad84

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$\begin{eqnarray*} (x^{6}-1) : (x-1) = x^{5} +x^{4} +x^{3} +x^{2} +x+1 \end{eqnarray*}$

entspricht ja nicht der Musterlösung oben. Was muss ich also tun?

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27.01.2012, 12:33

galoisseinbruder

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Beachte meinen Edit.

27.01.2012, 12:39

Quad84

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Hatte ich eben erst bemerkt.
Von daher:

$\begin{eqnarray*} (x^{6}+1) = 0<br /> <br /> x^{6} = -1<br /> <br /> x_{1} = -i<br /> x_{2} = +i \end{eqnarray*}$

27.01.2012, 12:48

galoisseinbruder

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Und jetzt natürlich Polynomdivision.

27.01.2012, 12:55

ollie3

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hallo quad,
man könnte nach (x^6-1) : (x-1)= x^5+x^4+x^3+x^2+x^1+1 das neue
polynom noch durch (x+1) dividieren, dann erhält man x^4+x^2+1,
dann hätte man wieder einen teiler von (x^12- 1) , dann hätte man ja
eigentlich 2 mögliche minimalpolynome, x^4+x^2+1 und x^4-x^2+1.
gruss ollie3

27.01.2012, 12:59

Quad84

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Also, wenn ich nun Polynomdivision durchführe, dann erhalte ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} (x^{6} + 1) : (x - i) = x^{5} +ix^{4} -x^{3} -ix^{2} +x+i \end{eqnarray*}$

@ollie3: vielen dank für den hinweis! so ähnlich hatte ich es mir egtl auch gedacht. und wie entscheide ich dann aber, welches minimalpolynom das "richtige" ist?

27.01.2012, 13:02

galoisseinbruder

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@ollie3: es gibt nur ein normiertes Minimalpolynom. So ist z.B. hier $\begin{eqnarray*} z = e^{2\pi i/12} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x^4+x^2+1 \end{eqnarray*}$ .

27.01.2012, 13:12

Quad84

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wenn ich nun erneute polynomdivision mit (x+i) durchführe, dann bekomme ich das richtige polynom raus! vielen dank galoisseinbruder!!!!!

27.01.2012, 13:19

Quad84

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noch eine kleine frage:

der körpergrad ist in diesem fall doch 4, oder?
da der grad des kreisteilungspolynoms ja gerade phi(n) ist.
hier also phi(12) = 4.

27.01.2012, 13:23

galoisseinbruder

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Ja. $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q (z) : \mathbb Q]= \varphi (12)=4 \end{eqnarray*}$
Oder ohne diese Theorie: Das soeben gefundene Minimalpolynom (man müsste noch irreduzibel beweisen) hat Grad 4.

27.01.2012, 14:11

gonnabphd

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Hi,

Vielleicht etwas strukturierter lassen sich die Kreisteilungspolynome übrigens rekursiv bestimmen:

Man beginnt mit dem ersten Kreisteilungspolynom. Das ist einfach $\begin{eqnarray*} \Phi_1=X-1 \end{eqnarray*}$ .
Dann weisst du, dass für das zweite Kreisteilungspolynom $\begin{eqnarray*} \Phi_2 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} X^2 - 1 = \Phi_2 \Phi_1 \; \Rightarrow \Phi_2 = \frac{X^2 -1}{\Phi_1} = X+1 \end{eqnarray*}$ .

Für das dritte Kreisteilungspolynom gilt

$\begin{eqnarray*} X^3 - 1 = \Phi_3 \Phi_1 \; \Rightarrow \Phi_3 = \frac{X^3-1}{\Phi_1} = X^2+X+1 \end{eqnarray*}$

Allgemein: Kennen wir die Kreisteilungspolynome $\begin{eqnarray*} \Phi_d \end{eqnarray*}$ für alle echten Teiler von einer natürlichen Zahl n, so gilt

$\begin{eqnarray*} X^n - 1 = \prod_{d|n} \Phi_d \; \Rightarrow \Phi_n = \frac{X^n-1}{ \prod_{\substack{d|n, \, d\ne n}} \Phi_d} \end{eqnarray*}$

Zum Beispiel hier hätten wir

$\begin{eqnarray*} \Phi_4 = \frac{X^4 - 1}{\Phi_2 \Phi_1} = \frac{X^4 - 1}{X^2 - 1} = X^2 + 1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \Phi_6 \Phi_3 \Phi_2 \Phi_1 =X^6 - 1 \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} \Phi_{12} = \frac{X^{12} - 1}{\Phi_6 \Phi_4 \Phi_3 \Phi_2 \Phi_1} = \frac{X^{12} - 1}{(X^6 - 1)(X^2 + 1)} = \frac{X^6 + 1}{X^2 + 1} = X^4 - X^2 + 1 \end{eqnarray*}$

Man muss also nicht einmal wissen, welche Nullstellen man nun aus $\begin{eqnarray*} X^{12}-1 \end{eqnarray*}$ rausteilen muss, um das Minimalpolynom der primitiven 12-ten Einheitswurzeln zu berechnen. Man muss nur die Kreisteilungspolynome der echten Teiler bestimmen (noch nicht einmal das, mit ein bisschen Geschick).

27.01.2012, 15:37

Quad84

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vielen dank für die ausführliche anmerkung!!!!! werd ich sicherlich für meine klausur nutzen können! ;-)

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