Rang einer Matrix bestimmen

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Wollops Auf diesen Beitrag antworten »
Rang einer Matrix bestimmen
Hallo,

irgendwie komme ich bei der Bestimmung des Rangs einer Matrix nicht auf einen grünen Ast. Ich habe bereits erklärungen durchgelesen und bücher gewälzt, aber diesn macht mir Probleme.
Der rang einer Matrix ist ja die Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spaltenvektoren oder auch Anzahl der Zeilen minus die Nullzeilen nach dem gaußverfahren.

Allgemein muss man zur Rangbestimmung ja die Matrix auf Stufenform mit dem Gauß bringen und dann schauen wieviele Nullzeilen es gibt. Schön und gut, aber wie genau lese ich nun den Rang am besten ab?

Beispielsweise (ich hab bereits auf stufenform gebracht):

A=

[Das beispiel kommt ursprünglich aus einer Eigenwertaufgabe an der ich sitze....der Rang der Matrix entspricht ja der geometrischen Vielfachheit, die wiederrum sagt wieviele Eigenvektoren es gibt oder??]

Hier soll der Rang angeblich 1 sein! Es also nur einen Eigenvektor geben. DIes verstehe ich aber nicht, da ich doch 2 linear unabhängige Zeilen hab und nur eine 0 zeile erzeugen konnte...

Hoffe mir kann jemand weiterhelfen um meinen Denkfehler zu überwinden!

Liebe Grüße
Wollops
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du hast Recht die Matrix hat Rang 2.
Dein Fehler ist aber: Die geometrische Vielfachheit ist nicht der Rang. (im übrigen besagt die geom. Vielfachheit wieviele linear unabhängige Eigenvektoren es gibt)
Du willst hier ja lösen. Und die Dimension des Lösungsraums ist n-rg(A). (wobei n die Anzahl der Zeilen/Spalten von A ist, hier also 3).
Oder anders ausgedrückt: die Anzahl der Nullzeilen.
Wollops Auf diesen Beitrag antworten »

Oh oke erstmal vielen Dank, dann liegt/ lag mein Denkfehler eher daran, dass ich die geometrische vielfachheit mit dem Rang gleichgesetzt hab.

Ich fasse also zusammen:

Rang der Matrix ist die Anzahl der Nullzeilen!

Geometrische Vielfachheit ist gleich: Zeilen meiner Ursprungsmatrix (also des ding von dem ich das charakteristische polynom bestimme) minus den Rang der "neuen" matrix, aus der ich auch die eigenvektoren suche und diese vielfachheit= anzahl der eigenvektoren

so ist es aber korrekt oder?

Nun hab ich noch eine andere Frage: Die geometrische Vielfachheit ist ja recht nützlich sehe ich ein, aber wozu benötige ich die algebraische Vielfachheit?

Nur zum vergleich mit der geometrischen? um auf diagonalisierbarkeit zu schließen???


Meine abschlussfrage zielt auch noch auf die diagonalisierbarkeit ab:

Hoffe die Frage kommt passend rüber:

Angenommen ich hab 2 EIgenvektoren, wobei bei beiden die algebraische vielfachheit 1 ist. Folgt dann zwangsläufig daraus die diagonalisierbarkeit (sofern es zum ddefinitionsbereich passt)?? Denn es gilt ja: geometriscghe vielfachheit ist mindestens 1 und maximal der der algebraischen vielfachheit... folglich geometrische=1=algebraische=diagonalisierbar!
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Rang der Matrix ist die Anzahl der Nullzeilen!

Nein. Alles was du zum Rang gesagt hattest ist richtig. Meine Bemerkung
Zitat:
die Anzahl der Nullzeilen.

bezog sich aud die dimension des Lösungsraums und damit der geometrischen vielfachheit.

Im Kontext der Eigenwerte liefert die algebraische vielfachheit "lediglich" ein kriterium der Diagonalisierbarkeit. Meines Erachtens sind solche Kriterien sehr nützlich.

Deine Argumentation zu alg. und geom. Vielfachheit in der Abschlußfrage ist richtig. Allerdings garantiert das noch nicht die Diagonalisierbarkeit:
Das charakteristische Polynom muss noch vollständig in Linearfaktoren zerlegbar sein.
Wollops Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von galoisseinbruder
Zitat:
Rang der Matrix ist die Anzahl der Nullzeilen!

Nein. Alles was du zum Rang gesagt hattest ist richtig. Meine Bemerkung
Zitat:
die Anzahl der Nullzeilen.

bezog sich aud die dimension des Lösungsraums und damit der geometrischen vielfachheit.


Wie ist das denn nun zu verstehen?

Ich korrigiere nochmal:

Rang Matrix ist Zahl der Spalten minus Nullspalten.... dementsprechend ist die geometrische Vielfachheit: Rang Startmatrix minus Rang "neue Matrix" ist gleich: zahl der eigenvektoren ist gleich: dimension des eigenraums? so müsste es passen oder?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Da es anscheinend zu Missverständnissen führt wenn ich Prosa schreibe:
Sei ein Eigenwert der Matrix .
 
 
Wollops Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, vielen Dank!

Wenn man jetzt noch bestätigen kann, dass ich den Rang ermittel, indem ich n minus Nullzeilen rechne, bin ich absolut glücklich Big Laugh
Wollops Auf diesen Beitrag antworten »

Achso doch noch etwas mehr:

steht das n immer für die zeilen? oder stellvertretend für den rang der Matrix M???
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn man jetzt noch bestätigen kann, dass ich den Rang ermittel, indem ich n minus Nullzeilen rechne, bin ich absolut glücklich Big Laugh

wenn die Matrix in Zeilen-Stufen-Form ist, ja.
Zitat:
oder stellvertretend für den rang der Matrix M???

Nein.
Zitat:
.

heißt M hat n Zeilen uind n Spalten.
Wollops Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze ist mir nun wirklich klar, vielen Dank!

Nun habe ich aber ein Problem, bei dem ich nicht weiter weiß und bei dem auch Komillitonen nicht helfen konnten:

Angenommen meine Startmartix hat den Rang 3 und ist ne 3x3 Matrix...

wenn ich nun die dim der eigenräume bestimmen will rechne ich ja:

dim(E)=n-rg(M-lamda*E)....

Angenommen nun wäre mein eigenwert 0....dann würde ich, weil der Rang von M 3 ist und auch die zeilenzahl 3 ist nacht der dimensionsformel dim(E)=0 erhalten, was ja nicht geht! Wo liegt da der fehler?!
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das hier
Zitat:
Angenommen nun wäre mein eigenwert 0....dann würde ich, weil der Rang von M 3 ist und auch die zeilenzahl 3 ist nacht der dimensionsformel dim(E)=0 erhalten, was ja nicht geht!

ist ein Widerspruchsbeweis. Du hast gezeigt, dass eine Matrix mit vollem Rang (=invertierbar) nicht den Eigwnwert 0 haben kann.

Zitat:
dim(E)=n-rg(M-lamda*E)....

Bitte nicht in einer Formel einen Bezeichner, hier E, für verschiedene Sachen verwendem, nämlich einmal Eigenraum und einmal Einheitsmatrix
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