Grenzwertberechnung

23.01.2012, 13:11

maths_1

Grenzwertberechnung

hallo,
sitze jetzt schon eine weile an dieser aufgabe und soll den grenzwert berechnen. mit hilfe von google, habe ich herausgefunden, dass es sich um den goldenen schnitt handeln muss. allerdings weis ich nicht wi ich ihn berechnen soll.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ 1 +\sqrt{ 1+\sqrt{1+\sqrt{1...}}}} \end{eqnarray*}$
kann ich das irgendwie als reihe darstellen? etwa als geometrische reihe oder als teleskopsumme?
ich hoffe ihr könnt mir ein paar tipps geben.um meinen denkapperat in wallung bringen. verwirrt

23.01.2012, 13:20

René Gruber

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Diese "Pünktchen-Pünktchen"-Definition ist ziemlich angreifbar, also sollte man zunächst sauber definieren, von welcher Zahl man hier eigentlich redet. Sowas z.B. wäre naheliegend: Man betrachte die rekursiv definierte Folge

$\begin{eqnarray*} a_1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{1+a_n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Die Frage wäre dann: Konvergiert diese Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ , und falls ja, gegen welchen Wert?

23.01.2012, 14:26

maths_1

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also ich habe die aufgabe so abgeschrieben wie sie auf meinem zettel steht.

es steht somit auch kein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ oder ähnliches vor dem wurzelausdruck. also ich werde das ganze dann als rekusrive folge betrachten. und die mögliche lösung dann hier posten.

23.01.2012, 14:34

René Gruber

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Zitat:

Original von maths_1
also ich habe die aufgabe so abgeschrieben wie sie auf meinem zettel steht.

Solche Rechtfertigungen interessieren mich eigentlich herzlich wenig. Denn mein Beitrag war ja nicht als Vorwurf, sondern als Hinweis gedacht, wie man das ganze mathematisch sauber formuliert - vielleicht ist aber gerade das schon Bestandteil dessen, was man in der Lösung der Aufgabe erwartet. Augenzwinkern

23.01.2012, 15:26

Ehos

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Zeige, dass die rekursive Vorschrift $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt{1+a_n} \end{eqnarray*}$ von Rene Gruber eine Cauchyfolge erzeugt, dass also gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)=0 \end{eqnarray*}$ . Dann kann man für hinreichend große n setzen $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\approx a_n \end{eqnarray*}$ und erhält für $\begin{eqnarray*} n\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ aus der Bildungsvorschrift die Beziehung $\begin{eqnarray*} a_{n}=\sqrt{1+a_n} \end{eqnarray*}$ . Das ist eine quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} a_{n}^2=1+a_n \end{eqnarray*}$ mit den Lösungen $\begin{eqnarray*} \tfrac{1-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tfrac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ . Letztere Lösung ist genau der Grenzwert der Folge.

Zu zeigen bleibt also, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist!

23.01.2012, 16:06

ThomasL

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Zitat:

Original von Ehos
Zeige, dass die rekursive Vorschrift $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt{1+a_n} \end{eqnarray*}$ von Rene Gruber eine Cauchyfolge erzeugt, dass also gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)=0 \end{eqnarray*}$ .

Das reicht nicht, z.B $\begin{eqnarray*} a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

23.01.2012, 16:18

Ehos

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@Thomast
Du verstehst mich miss. Ich habe nicht behauptet, dass jede Cauhy-Folge konvergiert, sondern nur gesagt, dass meine obigen Ausführungen unter der Voraussetzung gelten, dass es sich um eine Cauchy-Folge handelt.

24.01.2012, 13:50

maths_1

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@ Rene: tut mir leid hatte ich anders aufgefasst.

also ich habe jetzt das cauchy-kriterium (hoffentlich) angewendet, tue mir damit aber sehr sehr schwer (bitte nicht gleich den kopf abhacken):

somit :
$\begin{eqnarray*} \forall_{\epsilon >0} \exists_{ n_0\in \mathbb N} \forall _{m,n > n_0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | a_n-a_m|< \epsilon \end{eqnarray*}$ (n >m)

$\begin{eqnarray*} |\sqrt{1+a_n} - \sqrt {1+a_m}| = |\frac {1+a_n-1-a_m}{\sqrt{1+a_n} + \sqrt {1+a_m}}| \leq \frac {|a_n-a_m|}{\sqrt{|1+a_n} + \sqrt {1+a_m}|} \leq \frac {\epsilon}{\sqrt{|1+a_n} + \sqrt {1+a_m}|} \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

somit ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1}= \sqrt{1+a_n} \end{eqnarray*}$ eine cauchyflge und konvergent? verwirrt

ja und den grenzwert (übrugens danke füpr den tipp wie man ihn berechnen kann) den würde ich dann jetzt so berechnen wie es bei Ethos steht.

muss dann noch monotonie und beschränktheit zeigen.

monotonie: mit induktion. ich würde hier zeigen: $\begin{eqnarray*} a_n< an_1 \end{eqnarray*}$
beschränktheit: hier würde ic hbehaupten, dass $\begin{eqnarray*} \tfrac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ eine obere schranke ist, also $\begin{eqnarray*} \lim a_{n+1}\leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \tfrac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} \lim a_{n+1} = \lim{a_n} \end{eqnarray*}$ geht das?
verwirrt

ich hoffe ihr nehmt mich ejtzt nicht auseinander

25.01.2012, 14:57

maths_1

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habt ihr euch jetzt alle ausgeklinkt oder hat es euch die sprache verschlagen?

26.01.2012, 17:56

maths_1

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bekomme ich keine hilfe mehr oder zumindest bestätigung?

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