Lineare Abbildung L , Mat(L)

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15.01.2007, 16:29	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung L , Mat(L) Hallo, Ich sitze hier vor dieser Aufgabe und weiß nicht so recht wie ich sie angehen soll. Hoffentlich kann mir jemand von euch eine guten Ratschlag/Ansatz geben. Danke im Voraus... Aufg. Sei $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb R^{2 \times 2} \end{eqnarray}$ (a) Berechnen Sie $\begin{eqnarray} A^n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . (b) Die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} L \in End(\mathbb R^2) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Mat(L)=A \end{eqnarray}$ nennt man eine Scherung. Skizzieren Sie das Quadrat $\begin{eqnarray} Q=\{\ (x_1,x_2) \in \mathbb R^2 \| 0 \leq x_1 \leq 1 \ , \ 0 \leq x_2 \leq 1 \}\ \end{eqnarray}$ und die Bildmengen $\begin{eqnarray} L(Q) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L^2(Q) \end{eqnarray}$ . zu (a) Ich hab das jetzt einfach mal so gemacht: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}...\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} A^n= \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig? zu (b) Da kann ich mir leider gar nichts vorstellen. Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben wie das zu verstehen ist bzw. wie ich mir das vorstellen muss? Vielen Dank Chris
15.01.2007, 17:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung L , Mat(L) zu a) Deine Idee ist rchtig, aber so geschrieben ist es kein Beweis zu b) Scherung L ist ein Endomorphsimus, d.h. eine Lineare Abbildung in einem Vektorraum, hier dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} L: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} Mat(L)=A \end{eqnarray}$ wird ausgedrückt, dass A die Darstellende Matrix des Endomorphismus L sein soll. Es fehlt hier eigentlich noch die Angabe bzgl. welcher Basis, es ist denke ich von der Standard Basis auszugehen. Nun solltest du ein x1-x2 Koordinatensystem zeichnen. Darin zunächst mal die Menge Q. Wie sieht das dann aus?
15.01.2007, 19:25	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finds ja schon mal gut dass die Idee bei (a) stimmt, aber wie soll ich das denn nun beweisen? Hätte vllt gedacht per Induktion aber irgendwie ist mir da nichts gescheites gelungen. zu (b) Ich kann mir das jetzt schon so einigermaßen vorstellen. Die Menge Q hat doch die Seitenlängen $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ welche durch $\begin{eqnarray} 0 \leq x_1 \leq 1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 0 \leq x_x \leq 1 \end{eqnarray}$ definiert sind. Naja, aber welchen Wert hat jetzt $\begin{eqnarray} x_1 , x_2 \end{eqnarray}$ ? Wie kann ich den bestimmen? Gruß Chris
15.01.2007, 19:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion ist ein gutes Stichwort. SChrieb doch mal was hin und ich such den Fehler
15.01.2007, 20:07	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja also das was ich versucht habe war wirklich alles Schrott! Das ist könnte vllt hinhauen. Weiß aber nicht wie ich das machen soll. $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^n~\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^k = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was meinst du dazu?
15.01.2007, 21:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also da ist ja schon mal was doppelt gemoppelt. Entweder Produktschriebweise oder Potenz Ziel: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Anfang: n = 1 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Annahme: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Induktionsschluss $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{n+1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{n} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =... \end{eqnarray}$ Jetzt musst Du nur die einzelnen Matrixplätze ausrechnen - fertig
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15.01.2007, 22:11	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja klar!So siehts logisch aus! Nur mal noch eine blöde Frage nebenbei.Du hast jetzt alles so schön aufgeschrieben, doch irgendwie erinnere ich mich noch dass es bei einer Induktion einen Induktionsschritt gibt. Ist der Induktionsschritt nicht dein Induktionsschluss? LG Chris
16.01.2007, 11:29	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja bei meinem Schluss handelt es sich um die Folgerung, dass aus der (angenommenen) Gültigkeit der Behauptung für n die Gültigkeit für n+1 folgt. Die Induktion besteht immer aus 3 Teilen, die in meinen Vorlesungen oft unterschiedlich bezeichnet wurden. Mach es also so wie es in deinem Skript steht. Gruß
16.01.2007, 15:50	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Ja okay, dann ist gut, hab schon gedacht dass ich irgendwas nicht mehr verstehe, aber wenn das so ist - glück gehabt. Könntest du mir vllt was zu der (b) sagen? Ich kann mir das schon so einigermaßen vorstellen aber weiß eben nicht wie ich das machen soll. Die Menge Q hat doch die Seitenlängen $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ welche durch $\begin{eqnarray} 0 \leq x_1 \leq 1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 0 \leq x_x \leq 1 \end{eqnarray}$ definiert sind. Naja, aber welchen Wert hat jetzt $\begin{eqnarray} x_1 , x_2 \end{eqnarray}$ ? Wie kann ich den bestimmen? Könntest du mir vllt ein paar tipps geben wie ich das ganze zeichnen und bestimmen kann? LG Chris
16.01.2007, 17:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es steht ja schon da, wie Q aussieht. Ein Quadrat. Eckpunkte (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) Nun betrachte doch mal die Bilder dieser Vektoren
16.01.2007, 18:52	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja stimmt, das hab ich grar nicht richtig wahrgenommen, hab nur gesehen dass die Seitenlänge 1 ist.Also gut die Menge Q hab ich dann jetzt also.Jetzt fehlt mir noch die Bildmengen L(Q) und L²(Q). Da weiß ich aber jetzt wieder nicht weiter. Ich hab mir dazu gedacht: $\begin{eqnarray} L \in End(\mathbb R^2) \end{eqnarray}$ so ist $\begin{eqnarray} L(Q) \in End(\mathbb R^2) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} L(x_1 , x_2) \in End(\mathbb R^2) \end{eqnarray}$ Die Bildmenge L(Q) ist gleich der Menge Q. Stimmt das? Kannst du mir weiterhelfen? Gruß Chris
16.01.2007, 18:58	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee hab ich dir oben schon geschrieben. "Wir" wollen mit dieser Aufgabe den Begriff SCherung verstehen. Deswegen betrachten wir nicht den ganzen R² sondern nur eine Teilmenge. Betrachte also mal die Bilder von den genannten Vektoren
16.01.2007, 19:14	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm ja, du hast mir die Idee schon geschrieben, ich denke ich habe es auch fast verstanden. Die Vektoren haben doch den Wert 1. Das Bild ändert sich doch dabei aber nicht oder? Oder ich versteh nicht wie das hier gemeint ist.
16.01.2007, 19:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö, du solltest berechnen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = ? \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = ? \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = ? \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = ? \end{eqnarray}$
16.01.2007, 20:45	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zwei Punkte haben sich also nach rechts verschoben und es ist jetzt ein Parallelogramm. Ich habe dazu jetzt aber eine Frage, wie bist du darauf gekommen? Auf die Matrix ist mir schon klar, das sind ja nur Eckpunkte des Quadrats, und die Vektoren sind die die einzelnen Eckpunkte separat. Aber warum hast du sie miteinander multipliziert ?Kann das sein dass du also einen Basisvektor mit der Matrix multipliziert hast, sprich auf L(Q) angewendet hast?
16.01.2007, 21:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, die Matrix steht für eine Funktion, hier eine Lineare Abbildung. In diese funktion werden Vekoren eingesetzt, in unserem Falle alle die in dem Quadrat Q liegen. Wir interessieren uns jetzt für die Gestalt der Bildmenge. Dazu habe ich als auswahl mal die Aufgabe gestellt, dass wir uns die Bilder der Eckpunkte (=Vektoren) anschauen. Die Bildmenge hat also die Gestalt eines Parallelograms, was aber noch zu beweisen bleibt Formuliere dazu einfach mal allgemein $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = ? \end{eqnarray}$ und verwende die vorgebebenen Abschätungen über x1, x2
16.01.2007, 21:34	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja so habe ich das auch verstanden. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 +x_2 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} (x_1 , x_2) \end{eqnarray}$ ist jetzt wiederum ein Punkt bzw. Vektor des Quadrats. Ist das so richtig?
16.01.2007, 21:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (x_1 , x_2) \end{eqnarray}$ ist ein Vektor und liegt in der Menge Q. Sein Bild ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 +x_2 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit kannst Du nun deine Abschätungen für die Menge L(Q) machen
16.01.2007, 21:52	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, und in diesen Vektor kann ich dann die Werte für $\begin{eqnarray} x_1 , x_2 \end{eqnarray}$ einsetzen und bekomme zum Schluss mein Parallelogramm. Jetzt hab ich noch eine kurze Frage zu $\begin{eqnarray} L²(Q) \end{eqnarray}$ . Das geht doch da genauso , nur wird doch die Matrix quadriert oder?
16.01.2007, 22:46	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, $\begin{eqnarray} L²(Q) \end{eqnarray}$ ist doch $\begin{eqnarray} L(Q) \end{eqnarray}$ zweimal hintereinander ausgeführt, also $\begin{eqnarray} L(Q)°L(Q) \end{eqnarray}$ Stimmt das, oder lieg ich da jetzt falsch?
17.01.2007, 01:21	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} L²(Q) = L \circ L \end{eqnarray}$ macht man doch im Prinzip das gleiche wie hier: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 +x_2 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder? Nur nimmt man dann die neuen Eckpunkte des Parallelogramms, richtig? So habe ich mir es jetzt zumindest gedacht. Was meinst du?
17.01.2007, 09:08	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Entweder Du nimmst die alten Eckpunkte und die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = ? \end{eqnarray}$ oder die neuen mit der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ x_2 \end{pmatrix} = ? \end{eqnarray}$
17.01.2007, 16:55	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Dann hab ich es ja richtig gemacht! Vielen Dank für deine Hilfe

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