artanh(x) ableiten (Probleme auf der Zielgeraden)

23.01.2012, 17:17

Leviathanz0r

artanh(x) ableiten (Probleme auf der Zielgeraden)

Bei der Ableitung von $\begin{eqnarray*} artanh(x)=\frac{1}{2} \cdot ln(\frac{1+x}{1-x}) \end{eqnarray*}$ bin ich nun soweit gekommen:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}) \end{eqnarray*}$

Laut Wolframalpha ist die Ableitung gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x^2} \end{eqnarray*}$ , nur fehlt mir die zündende Idee für die "finale" Umformung :\

23.01.2012, 17:21

Dopap

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RE: artanh(x) ableiten (Probleme auf der Zielgeraden)

Zitat:

Original von Leviathanz0r
Bei der Ableitung von $\begin{eqnarray*} artanh(x)=\frac{1}{2} \cdot ln(\frac{1+x}{1-x}) \end{eqnarray*}$ bin ich nun soweit gekommen:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{1+x} \color {red}+ \frac{1}{1-x}) \end{eqnarray*}$
\

Wieso Plus ?
Was ist mit Ableitung des ln mal Ableitung des Arguments ?, Kettenregel!

--------------------------------------------
EDIT : das könnte theoretisch richtig sein, wo bleibt der Rechenweg?

23.01.2012, 17:33

Leviathanz0r

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kompletter Rechenweg:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2} \cdot (1 \cdot (1-x)^{-1} + (1+x) \cdot (1-x)^{-2}) \cdot \frac{(1+x)}{(1-x)} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{(1-x)}{(1+x)\cdot(1-x)} + \frac{(1+x)\cdot(1-x)}{(1-x)^2\cdot(1+x)}) = \frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{(1+x)} + \frac{1}{(1-x)}) \end{eqnarray*}$

23.01.2012, 17:57

Dopap

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sorry, daraus wer' ich nicht schlau. Schreibst du das Argument künstlich als Produkt?

Ich hab jetzt einfach rückwärts gerechnet und stelle fest, dass dein Ergebnis richtig ist. smile

23.01.2012, 18:15

Leviathanz0r

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bei dem ersten ergebnis (das gleich nach dem f'(x) = ) steht erst das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , dann die Ableitung des Teils "im" Logarithmus und dann die Ableitung des Logarithmus. (Kettenregel eben) Laut WolframAlpha muss es aber noch einmal irgendwie umformbar sein óò

23.01.2012, 18:20

Dopap

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du könntest ja im letzten Ausdruck deiner Kette das + einmal wörtlich nehmen und es ausführen.

23.01.2012, 18:33

Leviathanz0r

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Versteh ich nicht. o.o Solltest du die Regel $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d} \end{eqnarray*}$ meinen, damit komm ich auch nicht weiter.

23.01.2012, 19:17

Leopold

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Oder so:

$\begin{eqnarray*} y = \operatorname{artanh} x \ \ \Leftrightarrow \ \ x = \tanh y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd x}{\dd y} = 1 - \tanh^2 y = 1 - x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{1}{1 - x^2} \end{eqnarray*}$

23.01.2012, 19:49

Dopap

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das ist der elegante Weg.

jetzt aber Klartext.

Du kannst $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 (\frac 1{1+x}+ \frac 1 {1-x}) \end{eqnarray*}$

nicht zu

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {1-x^2} \end{eqnarray*}$ umrechnen???

und das unter Hochschule? studierst du evtl. Mathe?

23.01.2012, 20:22

Leviathanz0r

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Tut mir leid, hatte einen Aussetzer x.x Hab's hinbekommen...

Nein, ich studiere nicht Mathematik, sondern Physik.

23.01.2012, 20:26

Dopap

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das find ich sehr vernünftig!

Und lass dich von der (den) Mathematik(ern) nicht ins Bockshorn jagen!

Viel Erfolg Wink

23.01.2012, 20:26

mimimi

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Zitat:

Original von Leviathanz0r
Versteh ich nicht. o.o Solltest du die Regel $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d} \end{eqnarray*}$ meinen, damit komm ich auch nicht weiter.

genau so!

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