stammfunktion gesucht

23.01.2012, 19:19

bruno2

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stammfunktion gesucht

hi,

ich suche die stammfunktion von

f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{5x+3}{x^2 + 4} \end{eqnarray*}$

ich habe mir überlegt die partialbruchzerlegung anzuwenden, jedoch weiß ich nicht wie man den ansatz erstellt, da der nenner ja in R keine nullstelle hat.

könnt ihr mir helfen?

23.01.2012, 19:25

mYthos

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.

EDIT: .. hätte nichts gebracht.

mY+

23.01.2012, 19:25

juffo-wup

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Teile den Bruch in 2 Summanden auf :
Der erste: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{x^2+4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{(\frac{x}{2})^2+1} \end{eqnarray*}$
Der zweite: $\begin{eqnarray*} \frac{5x}{x^2+4}=\frac{5}{2}\cdot\frac{2x}{x^2+4} \end{eqnarray*}$

Beim ersten hilft dir der arctan weiter, wie du wahrscheinlich schon bemerkt hast, und beim zweiten der Logarithmus (Stichwort Logarithmische Ableitung).

23.01.2012, 19:25

tmo

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$\begin{eqnarray*} \frac{5x+3}{x^2+4} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+4} + \frac{3}{x^2+4} \end{eqnarray*}$

Der erste Summand hat (bis auf den Vorfaktor) die Form $\begin{eqnarray*} \frac{h'}{h} \end{eqnarray*}$ und ist damit ein Fall für den Logarithmus.

Der zweite Summand sollte stark an die Ableitung des Arcustangens erinnern.

23.01.2012, 19:37

bruno2

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wie kommt ihr auf die ganzen umformungen?

23.01.2012, 19:50

juffo-wup

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Das ist doch erstmal egal. Kommst du denn so mit der Aufgabe weiter?

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23.01.2012, 19:55

bruno2

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ich denke schon, danke. ich sehe nur noch nicht, wieso der zweite summand an den arctan erinnern soll, denn die ableitung vom arctan ist doch

$\begin{eqnarray*} (arctan(\alpha x))'=\frac{\alpha }{1+(\alpha*x )^2} \end{eqnarray*}$

23.01.2012, 20:07

juffo-wup

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Wenn du dir Umformung benutzt, die ich angab, dann brauchst du nur noch eine lineare Transformation, um auf das Integral $\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{1+x^2} =\arctan(x) \end{eqnarray*}$ zu kommen.

23.01.2012, 20:10

bruno2

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danke für die schnelle antwort. kannst du mir noch erklären, was eine lineare transformation ist?

23.01.2012, 20:14

bruno2

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kommt es bei diesem typ von partialbruchzerlegung immer zur anwendung des ln und des acrtan?

23.01.2012, 20:22

juffo-wup

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Zitat:

kannst du mir noch erklären, was eine lineare transformation ist?

Eine Substitution (Integration durch Substitution kennst du doch sicher?), bei der die Integrationsvariable x durch eine lineare Funktion in x ersetzt wird, also durch einen Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} ax+b. \end{eqnarray*}$ Mit diesen Substitutionen ist besonders leicht umzugehen, weil die Ableitung der Funktion ja konstant ist.

Zitat:

kommt es bei diesem typ von partialbruchzerlegung immer zur anwendung des ln und des acrtan?

Der Ansatz lässt sich mit leichten Modifikationen auf alle Integranden der Form $\begin{eqnarray*} \frac{ax+b}{cx^2+d} \end{eqnarray*}$ anwenden. Wie man auch an der Lösung sieht, wenn man alles nachvollzogen und verstanden hat.

23.01.2012, 20:31

bruno2

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ja, integration durch substitution ist mir ein begriff. die anwendung des ln mit dem ersten faktor hab ich auch nachvollziehen können, jedoch kann ich trotz deiner erklärung die lineare transdormation und das mit dem arctan nicht nachvollziehen.

kannst du es mir evtl zeigen an dem obigen beispiel?

23.01.2012, 20:39

juffo-wup

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Das unbestimmte Integral $\begin{eqnarray*} \int \frac{3}{4}\cdot \frac{dx}{(\frac{x}{2})^2+1} \end{eqnarray*}$ ist zu bestimmen. Setze $\begin{eqnarray*} t=\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ und wende die Substitutionsregel an. Und schon haben wir bis auf einen konstanten Faktor $\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ heraus.

23.01.2012, 20:55

bruno2

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also so:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \int \! \frac{1}{(\frac{x}{2})^2 +1} \, dx \end{eqnarray*}$

substitution: t=x/2

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \int \! \frac{1}{(t^2 +1)} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} *arctan(t) \end{eqnarray*}$

rücksubstitution:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} *arctan(\frac{x}{2} ) \end{eqnarray*}$

ist das dann korrekt?

23.01.2012, 21:00

juffo-wup

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Du hast vergessen die Ableitung von t(x) zu berücksichtigen bzw. dx noch durch etwas mit dt zu ersetzen.

23.01.2012, 21:06

bruno2

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$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} arctan(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

ist das ergebnis korrekt?

23.01.2012, 21:20

juffo-wup

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Ja.

23.01.2012, 21:22

bruno2

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vielen dank! hast mir super geholfen!

23.01.2012, 21:32

bruno2

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vielleicht eins noch:

wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ?

23.01.2012, 21:44

juffo-wup

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Wie tmo schon sagte, sieht der eine Summand doch so ähnlich aus wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ , daher ist es naheliegend zu versuchen ihn durch Umformen in eine solche Gestalt zu bringen. Wie man darauf dann konkret kommt? Naja, eben durch Rumprobieren (einfach mal losrechnen bzw. -umformen). (Ich kannte diesen 'Trick' allerdings schon.)
Im Allgemeinen sind Fragen der Art 'wie kommt man darauf das so und so zu machen' oft schwer zu beantworten, es ist eben Übungssache. Aber du siehst doch, dass es funktioniert, und ab jetzt kennst du die Lösung dieses Aufgabentyps auch.

23.01.2012, 21:47

bruno2

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alles klar, man muss einfach auf die form der ableitung des arctan kommen, und das dann durch probieren.

vielen dank!!

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