Matrixnorm (Spaltensummennorm)

15.01.2007, 16:41

normiert

Matrixnorm (Spaltensummennorm)

Ich hoffe ich bin im richtigen Forum gelandet - Normen zählen ja eher zu Analysis als zu Algebra?

Ich bin auf folgende Aufgabe gestoßen:

Sei mit $\begin{eqnarray*} ||x||_1 \end{eqnarray*}$ die Betragssummennorm auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Zeigen Sie, daß für die hierdurch induzierte Matrixnorm im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{m \times n} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} ||A||_1 = \max_{j=1,...,n} \sum_{i=1}^{m} |a_{ij}| \end{eqnarray*}$

In einer Newsgroup habe ich den Tipp gelesen, dass man $\begin{eqnarray*} ||x||_1 = 1 \end{eqnarray*}$ betrachten soll und wie folgt ansetzen soll:

(1) $\begin{eqnarray*} ||Ax||_1 = \sum_{i=1}^m \left| \sum_{k=1}^n a_{ik} x_k \right| = ... \end{eqnarray*}$

Ich habe das dann "einfach so" gemacht, und komme nach zwei Abschätzungen auch recht einfach auf die Behauptung. Aber jetzt merke ich, dass mir gar nicht klar ist, warum man so ansetzt (was natürlich sehr unbefriedigend ist):

(i) Warum setzt man einfach $\begin{eqnarray*} ||x||_1 = 1 \end{eqnarray*}$ ? Man braucht das zwar im vorletzten Schritt, aber warum kann man das so einfach machen?
(ii) Warum gilt (1)? Ax ausgerechnet ergibt doch einen Vektor. Der Betrag eines Vektors ist doch nicht die Summe der absoluten Einträge?

Oder ist der Ansatz gar falsch?

Wäre super wenn mir jemand helfen könnte. (Es geht mir nur um den Ansatz, nicht den kompletten Beweis!)

Danke.

15.01.2007, 16:46

normiert

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Das (ii)-te Problem hat sich soeben erledigt. Es ist ja die Betragssummennorm Hammer

Aber im Falle (i) bin ich immer noch etwas ratlos.

15.01.2007, 16:48

Dual Space

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RE: Matrixnorm (Spaltensummennorm)

Zitat:

Original von normiert
In einer Newsgroup habe ich den Tipp gelesen, dass man $\begin{eqnarray*} ||x||_1 = 1 \end{eqnarray*}$ betrachten soll und wie folgt ansetzen soll:

(1) $\begin{eqnarray*} ||Ax||_1 = \sum_{i=1}^m \left| \sum_{k=1}^n a_{ik} x_k \right| = ... \end{eqnarray*}$

Um was zu machen? Ich meine, auf welches Problem passt dieser Ansatz?

15.01.2007, 17:04

normiert

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Die durch $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1 \end{eqnarray*}$ induzierte Matrixnorm ist ja

(2) $\begin{eqnarray*} ||A||_1 = \sup_{x \neq 0} \frac{||Ax||_1}{||x||_1} \end{eqnarray*}$

Man muß also zeigen, dass (2) von der geforderten Form ist. Und der Ansatz ist quasi der erste Schritt dazu. (Ich habe die Aufgabe ja auch nur im Netz gefunden, aber so habe ich das interpretiert).

15.01.2007, 17:06

Dual Space

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Zitat:

Original von normiert
Die durch $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1 \end{eqnarray*}$ induzierte Matrixnorm ist ja...

Was genau ist denn eine induzierte Matrixnorm? Bzw. von was/wem wird sie induziert?

15.01.2007, 17:30

normiert

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Wir haben das wie folgt definiert:

Sind $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_{X}, ||\cdot||_{Y} \end{eqnarray*}$ zwei beliebige Vektornormen auf $\begin{eqnarray*} X=\mathbb{R}^n, Y=\mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ , so wird durch

$\begin{eqnarray*} ||A|| := \sup_{x \neq 0} \frac{||Ax||_Y}{||x||_X} \quad \forall_{A \in \mathbb{R}^{m \times n}} \end{eqnarray*}$

eine Matrixnorm induziert.

Hier wird die Norm also von der Betragssummennorm induziert.

Es gibt ja z.B. auch noch die Maximumsnorm, die dann analog die Zeilensummennorm induziert - welche man sehr ähnlich der Spaltensummennorm beweisen kann - leider ist mir auch dort nicht klar, weshalb man $\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty} = 1 \end{eqnarray*}$ setzen darf unglücklich

15.01.2007, 17:43

Schmonk

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Zitat:

Original von normiert
Die durch $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1 \end{eqnarray*}$ induzierte Matrixnorm ist ja

(2) $\begin{eqnarray*} ||A||_1 = \sup_{x \neq 0} \frac{||Ax||_1}{||x||_1} \end{eqnarray*}$

Man muß also zeigen, dass (2) von der geforderten Form ist. Und der Ansatz ist quasi der erste Schritt dazu. (Ich habe die Aufgabe ja auch nur im Netz gefunden, aber so habe ich das interpretiert).

Es gibt einen Beweis, der zeigt, dass

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \neq 0} \frac{||Ax||_1}{||x||_1}=\sup_{||x||_1=1} ||Ax||_1 \end{eqnarray*}$

Dies klappt natürlich mit jeder betrachteten Norm und nicht nur mit der 1-Norm. Ich habe den Beweis schändlicherweise nicht im Kopf, aber wenn du willst, könnte ich ihn raussuchen. Allerdings hoffe ich, du glaubst mir das jetzt einfach so. Augenzwinkern

die formulierung mit "induzierter Norm" kenne ich auch so und weiß was du meinst.
@Dual Space: Schau mal hier

Das Thema gehört meines Erachtens nach übrigens eher in den Bereich Numerik.

Grüße!

26.03.2007, 18:25

beuteltier

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sorry wenn ich einen alten thread im falschen forum ausgrabe, aber ich will dich aufgabe auch grad lösen, die durch die "betragssummennorm" induzierte matrixnorm ist: $\begin{eqnarray*} ||A||_1 = max \frac{||Ax||_1}{||x||_1} \end{eqnarray*}$ wie schon beschrieben und ich möchte die gleichheit zeigen wie im anfangspost.

ich konnte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ||A||_1 \geq max \sum_{i=1}^m~|a_ij| \end{eqnarray*}$ , indem ich ein explizites x gefunden habe, für das gleichheit angenommen wird. jetzt bräuchte ich wohl noch eine abschätzung in die andere richtung. wie könnte ich das machen?

27.03.2007, 17:11

Backenhörnchen

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Hallo,

es klappt z.B. so:

$\begin{eqnarray*} ||A||_1 &=& \sup_{x \neq 0} \frac{||Ax||_1}{|x|_1} = \sup_{x \neq 0} \frac{\sum_{j=1}^m \left| \sum_{i=1}^n a_{ij} x_i \right|}{\sum_{j=1}^n |x_j|} \\ &\leq& \sup_{x \neq 0} \frac{\sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n |a_{ij}||x_i|}{\sum_{j=1}^n |x_j|} \leq \sup_{x \neq 0} \frac{\sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n (\max_{i=1,...,n}|a_{ji}|)|x_i|}{\sum_{j=1}^n |x_j|}\\ &=& \max_{i=1,...,n} \sum_{j=1}^m |a_{ji}| \end{eqnarray*}$

Die andere Richtung hast du ja schon (geht z.B. mit dem j-ten Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} e_j \end{eqnarray*}$ ).

Grüße

27.03.2007, 19:22

Monstar

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müsste bei dem x nicht ein j im index stehen, sonst kürzt es sich doch gar nicht weg?

27.03.2007, 20:12

beuteltier

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erst mal danke für deine antwort!

nach umformen von dem, was in der ungleichung steht, komme ich aber auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^m~max|a_{ij}| \end{eqnarray*}$

also max und summenzeichen vertauscht, was meinen überlegungen nach einen kleinen aber bedeutenden unterschied macht.

PS die indizes stimmen glaub ich wirklich nicht ganz, aber das ist ja nicht erheblich

27.03.2007, 21:20

beuteltier

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sorry hab "falsch" umgeformt. jetzt hab ichs auch. DANKE

jetzt muss ich nochmal das selbe spiel mit der unendlich-norm machen Teufel

27.03.2007, 21:54

Backenhörnchen

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Sorry - bin bei den Indizes mit Spalten und Reihen durcheinander gekommen. Hast es aber offenbar trotzdem hinbekommen smile

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