cos^2(x) partielle integration

23.01.2012, 22:55

aiwoioi

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cos^2(x) partielle integration

Hallo,
ich soll cos^2(x) integrieren. Der gesamte Apparatus:
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! cos^{2}(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos^{2}(x)=cos(x) * cos(x) \end{eqnarray*}$ ===> partielle Integration:
$\begin{eqnarray*} u=v=cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=v'=-sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=u*v - \int_a^b \! (u' * v) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=cos(x)*cos(x) - \int_a^b \! (-sin(x) * cos(x)) \, dx \end{eqnarray*}$

Und hier schwitze ich schon Blut und Wasser, da ist ja wieder ein Produkt im Integral und der Teil vor dem Integral scheint mir auch faul. Ist bis heirhin überhaupt was richtig?
Laut irgendeiner Quelle soll:
$\begin{eqnarray*} f(x)=cos2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=½ (x + sin(x) cos(x)) \end{eqnarray*}$

Kannst du mir sagen was ich machen muss?

23.01.2012, 23:13

HAL 9000

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Du führst eine partielle Integration

$\begin{eqnarray*} \int u\cdot v' ~ \dd x = u\cdot v - \int u'\cdot v ~ \dd x \end{eqnarray*}$

aus. Wenn nun das linke Integral deinem gesuchten Integral $\begin{eqnarray*} \int \cos(x)\cdot \cos(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ entsprechen soll, wie soll das mit dieser Wahl hier

Zitat:

Original von aiwoioi
$\begin{eqnarray*} u=v=cos(x) \end{eqnarray*}$

funktionieren? Gar nicht! unglücklich

unglücklich

Also denk nochmal nach, wie du $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ passend wählen kannst.

23.01.2012, 23:16

Blacks

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RE: cos^2(x) partielle integration
Leider ist dein Ansatz für die partielle Integration schon falsch!
Schau nochmal, ob du den Fehler selbst erkennst (->Wikipedia), wenn nicht, dann gibts nen Tipp Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: zu langsam

23.01.2012, 23:50

Elian

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Hallo, hier aiwoioi.
Hab vergessen, dass ich hier auch registriert bin. Hammer

Hammer

Ich komme gerade mit der Notation nicht zurecht.
u ist sagen wir das erste Glied des Produkts und u' die Ableitung des ersten Glieds.
v ist dementsprechend das zweite Glied und v' die Ableitung des zweiten Glieds.
So habe ich das zumindestens mal gelernt.

Die im OP angewendete Formel habe ich aus frustfrei lernen, da mir Wikipedia zu kompliziert war ohne fremde Hilfe.
Laut Wikipedia:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \left[f(x) * g(x)\right]_{b}^{a} - \int_a^b \! f(x) * g'(x)\, dx \end{eqnarray*}$

24.01.2012, 00:00

Elian

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Sorry, musste kurz den Standort wechseln, daher zwei Posts hintereinander.

Ist das wortwörtlich zu nehmen?
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \int_a^b \! cos(x) * cos(x)\, dx \end{eqnarray*}$
Oder soll man von dem ersten cos(x) erst die Ableitung bilden?

24.01.2012, 08:21

klarsoweit

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Nun ja, was heißt wortwörtlich? Wenn man linke und rechte Seite der Gleichung vergleicht, könnte man auf die Idee kommen, daß f'(x) = cos(x) und g(x) = cos(x) ist. Damit steht der Anwendung der partiellen Integration nichts mehr im Weg. smile

smile

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24.01.2012, 13:58

Elian

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Dann wird also im integrierten teil f'(x)=cos(x) zu f(x)=sin(x) aufgeleitet
und im Integral wird g(x)=cos(x) zu g'(x)=-sin(x) abgeleitet.
Hier ist ja wieder ein Produkt im Integral. Der Funktionsplotter zeigt mir so eine art halbe -sin(x) kurve, der integrierte Bereich ist dementsprechend eine art halbe +sin(x) kurve.
Ist an - cos(x) * sin(x) etwas Besonderes? Existiert eine andere Schreibweise?

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \left[sin(x) * cos(x)\right]_{b}^{0} - \int_0^b \! - cos(x) * sin(x)\, dx \end{eqnarray*}$

FRAGE: ist das ein Fehler, dass im LATEX in der integrierten Formel die Grenzen a und b vertauscht sind. Mir ist zwar klar, dass a die linke und b die rechte Grenze ist, aber dass das a plötzlich oben steht ist ungewohnt.

24.01.2012, 14:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von Elian
Ist an - cos(x) * sin(x) etwas Besonderes? Existiert eine andere Schreibweise?

Ja, aber das ist im Moment nicht relevant: sin(2x) = 2*sin(x) * cos(x)

Zitat:

Original von Elian
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \left[sin(x) * cos(x)\right]_{b}^{0} - \int_0^b \! - cos(x) * sin(x)\, dx \end{eqnarray*}$

Da hast du die Formel nicht richtig angewendet.

Zitat:

Original von Elian
FRAGE: ist das ein Fehler, dass im LATEX in der integrierten Formel die Grenzen a und b vertauscht sind. Mir ist zwar klar, dass a die linke und b die rechte Grenze ist, aber dass das a plötzlich oben steht ist ungewohnt.

Verstehe nicht, was du meinst. Wenn man das richtig eingibt, kommt auch das richtige raus.

24.01.2012, 17:03

Elian

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Elian
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \left[sin(x) * cos(x)\right]_{b}^{0} - \int_0^b \! - cos(x) * sin(x)\, dx \end{eqnarray*}$

Da hast du die Formel nicht richtig angewendet.

Zitat:

Original von Elian
FRAGE: ist das ein Fehler, dass im LATEX in der integrierten Formel die Grenzen a und b vertauscht sind. Mir ist zwar klar, dass a die linke und b die rechte Grenze ist, aber dass das a plötzlich oben steht ist ungewohnt.

Verstehe nicht, was du meinst. Wenn man das richtig eingibt, kommt auch das richtige raus.

Ich verstehe nicht genau was der Fehler ist. Habe ich etwas falsch auf- oder abgeleitet?
Du hast doch geschrieben:
"f'(x) = cos(x) und g(x) = cos(x)"
Demnach ist ja f(x) die Aufleitung von f'(x), also wenn f'(x)=cos(x) dann f(x)=sin(x).
Für das g(x)=cos(x) gilt ja g'(x)= -sin(x)
~~Wenn dann muss ja hier ein Fehler sein, aus dieser Annahme heraus eingesetzt habe.~~
Aha, im Integral soll f(x) stehen, also die Aufleitung von f'(x). Damit:
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \left[sin(x) * cos(x)\right]_{b}^{0} - \int_0^b \! - sin(x) * sin(x)\, dx \end{eqnarray*}$
Jetzt habe ich auch zwar mit Wikipedia (erste Formel): herausgefunden, dass mit folgender Gleichung im Integral nur noch eine Variable verbleibt, nach der integriert wird:
$\begin{eqnarray*} sin(x)*sin(y)=(\frac {1}{2}) (cos(x-y)-cos(x+y)) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin(x)*sin(x)=(\frac {1}{2}) (cos(x-x)-cos(x+x)) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin(x)*sin(x)=(\frac {1}{2}) (cos(0)-cos(2x)) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin(x)*sin(x)=(\frac {1}{2}) (1-cos(2x)) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \left[sin(x) * cos(x)\right]_{b}^{0} - \int_0^b \! - (\frac {1}{2}) (1-cos(2x))\, dx \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \left[sin(x) * cos(x)\right]_{b}^{0} - \int_0^b \! - \frac {1}{2} + \frac {cos(2x)}{2}\, dx \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \left[sin(x) * cos(x)\right]_{b}^{0} - \left[ - \frac {x}{2} + \frac {sin(2x)}{2}\right]_{b}^{0} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = (sin(b) * cos(b)) -(- \frac {b}{2} + \frac {sin(2b)}{2}) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = (sin(b) * cos(b)) (-1) (- \frac {b}{2} + \frac {sin(2b)}{2}) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = (-1) (- \frac {b*sin(b) * cos(b)}{2} + \frac {sin(b) * cos(b) * sin(2b)}{2}) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = (+ \frac {b*sin(b) * cos(b)}{2} - \frac {sin(b) * cos(b) * sin(2b)}{2}) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \frac {1}{2} (b*sin(b) * cos(b) - sin(b) * cos(b) * sin(2b)) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
Mit "sin(2x) = 2*sin(x) * cos(x)", was bis jetzt nicht relevant war:
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \frac {1}{2} (b*sin(b)cos(b) - 2*sin(b)cos(b)sin(b)cos(b)) \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Jetzt stotterts wieder. Was nun, alles richtig soweit?

$\begin{eqnarray*} \left[x\right]_{b}^{a} \end{eqnarray*}$
Naja, hier kenne ich das nur so, dass die linke Grenze, das a, unten steht. So kenne ich es aus der Schule und auch aus der Uni. Warum ist das bei Latex anders herum.

25.01.2012, 08:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Elian
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \left[sin(x) * cos(x)\right]_{b}^{0} - \left[ - \frac {x}{2} + \frac {sin(2x)}{2}\right]_{b}^{0} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Hier hast du $\begin{eqnarray*} \frac{cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ falsch integriert.

Zitat:

Original von Elian
Aha, im Integral soll f(x) stehen, also die Aufleitung von f'(x). Damit:
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \left[sin(x) * cos(x)\right]_{b}^{0} - \int_0^b \! - sin(x) * sin(x)\, dx \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle kannst du die Beziehung sin²(x) = 1 - cos²(x) nutzen. Setze das ins Integral ein und löse dann die Gleichung nach dem gesuchten Integral auf.

Zitat:

Original von Elian
$\begin{eqnarray*} \left[x\right]_{b}^{a} \end{eqnarray*}$
Naja, hier kenne ich das nur so, dass die linke Grenze, das a, unten steht. So kenne ich es aus der Schule und auch aus der Uni. Warum ist das bei Latex anders herum.

Verstehe dein Problem nicht. Beim Integral schreibst du doch \int_0^b mit 0 als unterer und b als oberer Grenze. Wenn du das bei den eckigen Klammern auch so machst, kommt auch das richtige raus:
\left[x\right]_a^b ergibt: $\begin{eqnarray*} \left[x\right]_a^b \end{eqnarray*}$ . smile

smile

28.01.2012, 23:02

Elian

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Hallo, war leider paar Tage mit anderen Fächern beschäftigt.
Danke nochmal für die nette Hilfe, ich hoffe meine wundgescheuerten Knie sind dir Lohn genug. Gott

Gott

Zitat:

Original von klarsoweit
Hier hast du $\begin{eqnarray*} \frac{cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ falsch integriert.

Kettenregel Ups

Ups

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \left[sin(x) * cos(x)\right]_{0}^{b} - \left[ - \frac {x}{2} + sin(2x)\right]_{0}^{b} \end{eqnarray*}$

Zitat:

An dieser Stelle kannst du die Beziehung sin²(x) = 1 - cos²(x) nutzen. Setze das ins Integral ein und löse dann die Gleichung nach dem gesuchten Integral auf.

Aha, nach dem Ableiten im Integral rechts steht da ja -sin(x)*sin(x) und dafür soll ich -(sin²(x))=-(1-cos²(x)) einsetzen?
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! cos^{2}(x) \, dx = \left[sin(x) * cos(x)\right]_{0}^{b} - \int_0^b \! -1 + cos²(x)\, dx \Rightarrow \end{eqnarray*}$
Was bedeutet hier auflösen?

Ich gehe mal davon aus, dass beide Wege richtig sind und mache derweil an der Stelle im Zitat oben weiter:
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! cos^{2}(x) \, dx = \left[sin(x) * cos(x)\right]_{0}^{b} - \left[ - \frac {x}{2} + sin(2x)\right]_{0}^{b} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! cos^{2}(x) \, dx = ((sin(b) * cos(b))-(sin(0) * cos(0))) - ((- \frac {b}{2} + sin(2b))-(- \frac {0}{2} + sin(2*0))) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! cos^{2}(x) \, dx = ((sin(b) * cos(b))-(0 * 1)) - ((- \frac {b}{2} + sin(2b))-(- 0 + 0)) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! cos^{2}(x) \, dx = sin(b)cos(b) - (-\frac {b}{2} + sin(2b)) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
Da ich mir einen Fehler (mit Folgefehlern) mit dem Vorzeichen im vorherigen Post erlaubt habe, geht es hier anders weiter.
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! cos^{2}(x) \, dx = sin(b)cos(b) +\frac {b}{2} - sin(2b) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
sin(2b) = 2*sin(b) * cos(b)
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! cos^{2}(x) \, dx = sin(b)cos(b) +\frac {b}{2} -2*sin(b)cos(b)\Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! cos^{2}(x) \, dx = \frac {b}{2} - sin(b)cos(b)\Rightarrow \end{eqnarray*}$
Jetzt sollte es nur noch einen Kätzchensprung nach $\begin{eqnarray*} \int_0^b \! cos^{2}(x) \, dx =\frac{1}{2}(x+sin(x)cos(x)) \end{eqnarray*}$ sein, aber da ist noch was faul dran.

Zitat:

Verstehe dein Problem nicht. Beim Integral schreibst du doch \int_0^b mit 0 als unterer und b als oberer Grenze. Wenn du das bei den eckigen Klammern auch so machst, kommt auch das richtige raus:
\left[x\right]_a^b ergibt: $\begin{eqnarray*} \left[x\right]_a^b \end{eqnarray*}$ . smile

smile

Ja, stimmt. Aber warum ist beim anklicken im Formeleditor a und b vertauscht. Will da jemand die Neulinge trollen? Teufel

Teufel

Ich sitze hier schon seit ca. 2 Stunden dran. Das ist ok, hauptsache niemand klatscht mir den vollen Lösungsweg hin. Lernen dauert und geht in unserem Zeitalter noch nicht per Strg+C/Strg+V. Dauert noch ein Weilchen, bis wir ein verschmalztes Kabel aus dem Ohr ziehen um es ... na ich hoffe das geht in Zukunft doch besser ohne Kabel. smile

smile

29.01.2012, 14:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Elian

Zitat:

Original von klarsoweit
Hier hast du $\begin{eqnarray*} \frac{cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ falsch integriert.

Kettenregel Ups

Ups

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f'(x) * g(x)\, dx = \left[sin(x) * cos(x)\right]_{0}^{b} - \left[ - \frac {x}{2} + sin(2x)\right]_{0}^{b} \end{eqnarray*}$

Leite mal sin(2x) ab. Kommt dann das raus, was du integrieren wolltest?

29.01.2012, 23:26

Elian

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Zitat:

Original von klarsoweit
Leite mal sin(2x) ab. Kommt dann das raus, was du integrieren wolltest?

wenn f(x)=sin(2x)
v(x)=2x, v'(x)=2
u(x)=sin(v), u'(x)=cos(v)
mit f'(x)=u'(v(x))*v'(x)
f'(x)=cos(2x)*2=2cos(2x)

Ja, den Bruch vergessen war ein Fehler
Richtig sollte da wohl stehen: $\begin{eqnarray*} \frac{sin(2x)}{4} \end{eqnarray*}$
Das habe ich aus der Ableitung konstruiert.
Gibt es dafür eine Formel? Habe im Internet leider nur die Konstruktion mit Hilfe der Differrentiation gefunden.

Damit bin ich dann auf dem Papier und mit Deinem Hinweis - sin(2x)=2sin(x)cos(x) - zu der Lösung $\begin{eqnarray*} \int \! cos²(x)\, dx=\frac{1}{2}(x+sin(x)cos(x)) \end{eqnarray*}$ gekommen.

Bis auf die eine Frage wäre die Sache dann für mich geklärt.
Vielen Dank für deine Geduld. smile

smile

30.01.2012, 09:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Elian
Gibt es dafür eine Formel? Habe im Internet leider nur die Konstruktion mit Hilfe der Differrentiation gefunden.

Rein formal kann man u = 2x substituieren. Das bedingt natürlich, daß man die Substitutionsregel kennt. smile

smile

30.01.2012, 10:24

Elian

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Substitutionsregel, mal eben schnell gelernt. smile

smile

$\begin{eqnarray*} \int \!\frac{cos(2x)}{2}\,dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=2x \Rightarrow \frac{dz}{dx}=2 \Rightarrow dx=\frac{dz}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{cos(2x)}{2}\,dx\Rightarrow \end{eqnarray*}$ Substitution $\begin{eqnarray*} \Rightarrow\int\!\frac{cos(z)}{2}\frac{dz}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\frac{1}{2}\int\!\frac{cos(z)}{2}dz=\frac{1}{2}\frac{sin(z)}{2}+C\Rightarrow \end{eqnarray*}$ Resubstitution
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\frac{1}{2}\frac{sin(2x)}{2}+C=\frac{sin(2x)}{4}+C \end{eqnarray*}$

In welchen Fällen kann man denn das +C weglassen?
Ich gehe davon aus, wenn die Stammfunktion bekannt ist und kein C enthält oder durch eine konkrete Anwendung der Y-Achsenschnittpunkt Null sein soll oder auf einen Wert festgelegt werden soll (Optimierungsprobleme etc.), kann die Variable C durch einen konkreten Wert ersetzt werden.
Eine Antwort hierauf würde mir mal endlich Klarheit verschaffen.

Die konkreten Werte von Konstanten verschwinden beim Differenzieren spurlos, sie gehen unwiederbringlich verloren.
Durch Integrations erscheinen sie nur als Variable C (=constant) wieder in der Formel, ohne einen konkreten Wert.

Sind meine Schlüsse richtig?

30.01.2012, 11:15

klarsoweit

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Die Herleitung des Integrals ist ok.

Zitat:

Original von Elian
In welchen Fällen kann man denn das +C weglassen?

Bei bestimmten Integralen. Bei unbestimmten Integralen sollte man die Konstante dazu nehmen.

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