Normerhaltung (orthogonale Matrix)

23.01.2012, 23:10	Thermi	Auf diesen Beitrag antworten »
Normerhaltung (orthogonale Matrix) Hallo zusammen! Ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray} \|\| Uy \|\|_{2} = \|\|y\|\|_{2} \end{eqnarray}$ für eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray} U \in \mathbb R ^{n \times n} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} y \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ . Dafür habe ich folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} \left(Uy\right)^{2}=\left(Uy\right)^{T}\left(Uy\right)=y^{T}U^{T}Uy=y^{T}y=y² \end{eqnarray}$ Kann man damit, obwohl es sich um Vektoren handelt, durch "Wurzelziehen" sagen, dass $\begin{eqnarray} Uy=y \end{eqnarray}$ und damit die obige Aussage folgt? Vielen Dank im Voraus
24.01.2012, 10:19	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beweis ist ok. Aber trotzdem bringst du 'was durcheinander: Eine orthogonale (lineare) Abbildung U ändert den Betrag eines Vektors x nicht, also UxUx=xx. (=Definition.) Das ist z.B. bei Drehungen oder Spiegelungen der Fall. Daraus darf man natürlich nicht schlussfolgern, dass gilt Ux=x. In diesem Falle wäre U ja die Einheitsmatrix, und es würde gar nix gedreht oder gespiegelt, sondern alles bliebe beim Alten. Übrigens ist das "Wurzelziehen" aus einem Skalarprodukt x*x nicht eindeutig und würde dir selbst bei deiner Argumentation nichts bringen.
24.01.2012, 19:03	Thermi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Ich denke, der Beweis klappt dann, weil ich in der Norm auch die Wurzel der summierten Quadrate der einzelnen Einträge der Vektoren habe, richtig?
25.01.2012, 09:06	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein gilt: Wenn das Quadrat a² irgendeiner Zahl konstant ist, dann ist natürlich auch a Konstant. Wenn sich also das Normquadrat nicht ändert, d.h. UxUx=xx oder \|Ux\|²=\|x\|², dann bleibt natürlich auch die Norm selbst unverändert, also \|Ux\|=\|x\|. Dein Beiweis ist also ok.

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