Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe

23.01.2012, 23:42	Mirta	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe Nabend, zu zeigen ist die gleichmäßige Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray} f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{nx}{1+n^{5}x^{2}} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Wir hatten in der Vorlesung den folgenden Satz: Sei $\begin{eqnarray} f_n:X\rightarrow\mathbb{C} \end{eqnarray}$ gegeben. Existieren Konstanten $\begin{eqnarray} M_n\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N},x \in X \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f_n(x)\leq M_n \end{eqnarray}$ so gilt: Konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} M_n \end{eqnarray}$ , so konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n \end{eqnarray}$ gleichmäßig. Nun habe ich für $\begin{eqnarray} \left\| x \right\| \geq 1 \end{eqnarray}$ die folgende Abschätzung gefunden: $\begin{eqnarray} \left\|\frac{nx}{1+n^{5}x^{2}}\right\|=\frac{\|n\|\|x\|}{\|1+n^{5}x^{2}\|}=\frac{\|n\|\|x\|}{\|\frac{1}{x^{2}}+n^{5}\|\|x\|^{2}}=\frac{n}{\|\frac{1}{x^{2}}+n^{5}\|\|x\|}\leq\frac{n}{\|\frac{1}{x^{2}}+n^{5}\|}\leq\frac{n}{n^{5}}=\frac{1}{n^{4}} \end{eqnarray}$ Allerdings finde ich für $\begin{eqnarray} \left\| x \right\| < 1 \end{eqnarray}$ keine solche Abschätzung, die nicht von $\begin{eqnarray} \|x\| \end{eqnarray}$ abhängt. Kann mir jemand weiterhelfen? Vielleicht funktioniert dieser Weg über die Schranken hier ja gar nicht? Allerdings falls nicht, wie kann man hier vorgehen? Soweit ich weiß haben wir keine weiteren nützlichen Sätze in der Vorlesung gehabt... Vielen Dank.
24.01.2012, 10:45	ThomasL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe Hallo, eigentlich ist keine Fallunterscheidung nötig: $\begin{eqnarray} \|f_n(x)\| = \frac{n\|x\|}{1+n^5x^2} =\frac{1}{n^{3/2}}\cdot \frac{n^{5/2}\|x\|}{1+n^5x^2} \end{eqnarray}$ und man kann den Faktor rechts geeignet abschätzen...
24.01.2012, 12:01	Mirta	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider habe ich extreme Probleme damit, auf diese Abschätzungen zu kommen. Wie kann ich denn den Faktor rechts abschätzen? Ich sitze seit deiner Antwort dran und komme auf absolut gar nichts. Hier braucht man aber schon eine Fallunterscheidung oder?
24.01.2012, 13:08	ThomasL	Auf diesen Beitrag antworten »
es gilt $\begin{eqnarray} a\le \frac{1}{2}(1+a^2) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ (binomische Formel)
24.01.2012, 14:26	Mirta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe. Es gilt $\begin{eqnarray} a\leq \frac{1}{2}(1+a^{2})<1+a^2 \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} a:=n^{\frac{5}{2}}\|x\| \end{eqnarray}$ folgt dann, dass der zweite Faktor kleiner 1 ist. Also gilt insgesamt $\begin{eqnarray} \forall x \in X: \|f_n(x)\|<\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray}$ . Danke!

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