Grenzwert

24.01.2012, 00:04	saskiada	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Seit $\begin{eqnarray} (x_{n}) \end{eqnarray}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray} \lim_{} x_{n} = x_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{n} \neq x_{0} \end{eqnarray}$ für alle n. a) Begründe, dass $\begin{eqnarray} lim (x_{n}^{3}-2x_{n}^{2}+4x_{n}-1)= x_{0}^{3}-2x_{0}^{2}+4x_{0}-1) \end{eqnarray}$ . Meine Begründung: Zerlegt man die Folge $\begin{eqnarray} (x_{n}) \end{eqnarray}$ in Teilfolgen, so ergibt sich aus der Voraussetzung, dass der Grenzwert Teilfolgen gegen $\begin{eqnarray} (x_{0}) \end{eqnarray}$ gehen? b) Was lässt sich über die Folge $\begin{eqnarray} \frac{1}{x_{n}-x_{0}} \end{eqnarray}$ sagen? Die Folge müsste gegen unendlich gehen, da wegen Definition $\begin{eqnarray} \lim_{} {x_{n}-x_{0}}=0 \end{eqnarray}$ geht, oder? c) Berechne $\begin{eqnarray} \lim_{} {\frac{x_{n}^{2}-x_{0}^{2}}{x_{n}-x_{0}} } \end{eqnarray}$ . Lösung? $\begin{eqnarray} \lim_{} {\frac{x_{n}^{2}-x_{0}^{2}}{x_{n}-x_{0}} }= \lim_{} {\frac{(x_{n}-x_{0})(x_{n}+x_{0})}{x_{n}-x_{0}} }= \lim_{} {(x_{n}+x_{0}) }= \lim_{}(x_{n}) + \lim_{}(x_{0})=x_{0}+x_{0}=2x_{0} \end{eqnarray}$ Wieso existiert dieser Grenzwert, obwohl der Satz über die Quotientenfolge zweier konvergenter Folgen nicht angewendet werden kann? Vielen Dank
24.01.2012, 08:37	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert a und b sind richtig. zu c: nur weil man einen Satz nicht anwenden darf, muß nicht daraus folgen, daß eine Folge keinen Grenzwert hat.

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