Bessel-Identität

24.01.2012, 07:35	Sol	Auf diesen Beitrag antworten »
Bessel-Identität Meine Frage: Hi Leute, ich soll für die modifizierte Bessel-Funktion $\begin{eqnarray} I_{v}(x)=\sum\limits_{s=0}^\infty \frac{1}{s!(s+v)!}\left(\frac{x}{2}\right) ^{2s+v} \end{eqnarray}$ folgende Identiät beweisen: $\begin{eqnarray} 1=I_0(x)+2\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n I_{2n}(x) \end{eqnarray}$ hab damit aber ziemlich Probleme. Meine Ideen: Als Ansatz hab ich erstmal ne 0 "dazuaddiert", um die Grenzen bei der zweiten Summe anzupassen, das sieht dann im Endeffekt so aus: $\begin{eqnarray} 2\sum\limits_{n=o}^\infty \sum\limits_{s=0}^\infty \frac{(-1)^n}{s!(s+2n)!}\left(\frac{x}{2} \right)^{2(s+n)}-I_0(x) \end{eqnarray}$ Soo, nach einigem Rumprobieren hab ich die Doppelsumme mal bei Mathematica eingegeben, wobei ich dann erhalte: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}I_0(x) \end{eqnarray}$ was im Endeffekt ja das gesuchte Ergebnis liefert. Mir fällt nur wirklich nicht ein, wie ich die Doppelsumme derart auflösen kann, dass ich eben auf letzteres Ergebnis komme. Ich habe es mal mit der Reihenentwicklung für 1/2 versucht: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \end{eqnarray}$ komme aber auch damit nicht weiter =( Könnt ihr mir helfen? Gruß, Sol
24.01.2012, 15:22	Sol	Auf diesen Beitrag antworten »
Update: Aufgabe wurde gelöst, bisher aber nur per Einsetzen und darauf folgender Neudefinition der Summe: $\begin{eqnarray} I_0(x)+2\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n I_{2n}(x) =1+\sum\limits_{s=1}^\infty \frac{1}{s!^2}\left(\frac{x}{2} \right)^{2s}+ \left[ -1\left(\frac{x}{2}\right)^{21}-\frac{1}{2!2!} \left(\frac{x}{2}\right)^{22}-\frac{1}{3!3!} \left(\frac{x}{2}\right)^{23}-...\right]=1+\sum\limits_{s=1}^\infty \frac{1}{s!^2}\left(\frac{x}{2} \right)^{2s}-\sum\limits_{s=1}^\infty \frac{1}{s!^2}\left(\frac{x}{2} \right)^{2s}=1 \end{eqnarray*}$ Suche aber eigentlich nen eleganteren Weg Jemand ne Idee?
24.01.2012, 20:00	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Hier bietet es sich an, über eine erzeugende Funktion zu argumentieren. Es ist $\begin{eqnarray} e^{x \cos \theta} = \sum_{n=-\infty}^\infty I_n(x) e^{in\theta} \end{eqnarray}$ Nun musst du bloss noch geeignet einsetzen. (Die Identität lässt sich relativ einfach beweisen, indem man $\begin{eqnarray} e^{x\cos\theta} = e^{x e^{i\theta}}e^{xe^{-i\theta}} \end{eqnarray}$ verwendet und ausmultipliziert.)
26.01.2012, 18:29	Sol	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir soweit Unser Übungsleiter hat es dann so gelöst, dass er ne neue Variable, abhängig von n und s eingeführt hat, wodurch eine der Summe auf endliche Grenzen eingeschränkt werden konnte. Hab's noch net ganz verstanden, sieht aber sinnvoll aus

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »