aus Kovarianzmatrix den Erwartungswert ablesen?

24.01.2012, 08:40

Skully89

aus Kovarianzmatrix den Erwartungswert ablesen?

Hallo!

Ich wollte fragen, ob es möglich ist, dass man aus einer gegeben Kovarianzmatrix den Erwartungswert ablesen kann?

Ich habe in einer Aufgabe folgende Kovarianzmatrix gegeben:

$\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 2 &2 \\ 2 &3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Element x11 = 2 = Varianz von X1
Element x22 = 3 = Varianz von X2

Es ist der zweidimensionale Zufallsvektor X = (X1, X2) gegeben. Und man soll die Standardabweichung der Summe S = X1 + X2 berechnen.

Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:

Die Standardabweichung ist ja die Wurzel von der Varianz

Daher erstmal die Varianz berechnen:

$\begin{eqnarray*} VAR[S] = VAR[X1 + X2] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} VAR[S] = VAR[X1] + VAR[X2] + 2*COV[X1, X2] \end{eqnarray*}$

So. Die Varianzen X1 und X2 habe ich ja gegeben.

Ich muss die Kovarianz ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} COV[X1,X2] = E[(X1-~\mu)(X2-~\mu)] \end{eqnarray*}$
jeweils von müx1 und müx2 versteht sicht - Also X1 - müx1 usw.

jetzt kann man das noch vereinfachen und in diese Form bringen:
$\begin{eqnarray*} COV[X1,X2] = E[XY]-E[X]E[Y] \end{eqnarray*}$

Und ab hier hänge ich. Wie komme ich nun weiter? unglücklich

In der Angabe steht sonsts nichts weiter und ich kann mir nicht vorstellen, dass das das Endergebnis sein soll:

$\begin{eqnarray*} VAR[S] = VAR[X1] + VAR[X2] + 2*(E[XY]-E[X]E[Y]) \end{eqnarray*}$

Bin für jede Hilfe sehr dankbar!

Dankeschön.

Grüße aus Köln

24.01.2012, 13:01

Black

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Du hast eine Kovarianz-Matrix gegeben, und in der Kovarianz-Matrix lassen sich alle Kovarianzen ablesen.
Du musst also $\begin{eqnarray*} Cov(X_1,X_2) \end{eqnarray*}$ nicht ausrechnen (kann man hier auch gar nicht), sondern einfach nur aus der Matrix ablesen

24.01.2012, 14:43

Skully89

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Hallo!

Vielen Dank für die rasche Antwort.

Welches die Varianzen sind ist mir klar (x11 und x22).

Aber was soll ich da denn noch ablesen?

Was setze ich denn für COV[X1, X2] ein?

Vielen Dank!

Gruß

24.01.2012, 14:50

Black

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Zitat:

Original von Skully89

Welches die Varianzen sind ist mir klar (x11 und x22).

Aber was soll ich da denn noch ablesen?

Das was noch übrig ist.

$\begin{eqnarray*} x_{12} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} Cov(X_1,X_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{21} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} Cov(X_2,X_1) \end{eqnarray*}$

24.01.2012, 16:16

Skully89

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Hallo!

Okay - ich glaube dann habe ich es jetzt verstanden!

$\begin{eqnarray*} VAR[S] = VAR[X1] + VAR[X2] + 2*COV[X1,X2] \end{eqnarray*}$

Wenn
$\begin{eqnarray*} x12 = COV[X1, X2][l/atex] ist und[latex]x21 = COV[X2, X1] \end{eqnarray*}$

Dann setze ich jetzt für $\begin{eqnarray*} 2*COV[X1, X2] = 2 \end{eqnarray*}$ ein und komme auf folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} VAR[S] = VAR[X1] + VAR[X2] + 2*COV[X1,X2] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} VAR[S] = 2 + 3 + 2*2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} VAR[S] = 9 \end{eqnarray*}$

Und die Standardabweichung von S ist ja

$\begin{eqnarray*} s = \sqrt(9) = 3 \end{eqnarray*}$

Korrekt, oder?

Danke!

Gruß smile

24.01.2012, 16:19

Black

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Ja, alles richtig so smile

24.01.2012, 18:17

Skully89

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Wunderbar

vielen Dank! smile

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