Indirekter Schluss - Binomialverteilung

24.01.2012, 09:17	Skanator	Auf diesen Beitrag antworten »
Indirekter Schluss - Binomialverteilung Meine Frage: Hallo Leute! Ich bin grad am Verzweifeln.... Hab eine Übungsaufgabe zur Binomialverteilung und komm einfach nicht auf die Lösung. Ist wahrscheinlich ganz einfach, hab aber irgendwo nen Denkfehler. Hier die Angaben: In einem Los werden 5000 St. Bauteile gefertigt. Von diesem Fertigungslos wird vermutet, dass 7% der Bauteile fehlerhaft sind. Es wird eine Stichprobe von 70 St. entnommen und jedes Teil überprüft. Es stellt sich heraus, dass 7 St. der Stichprobe fehlerhaft sind. Frage 1 (bereits gelöst, war kein Problem): Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 7 fehlerhafte Teile bei der erwarteten Fehlerquote von 7% auftreten? (P(x=7)=10,2%) Frage 2 (Problem): Auf welche maximale Fehlerquote in der Grundgesamtheit kann man aus dieser Stichprobe schließen, wenn ein statistischer Fehler von Alpha = 5% zugelassen wird? (Ergebnis wäre pmax = 18%) Ich komm einfach nicht auf den Ansatz für die Frage 2. Bin mir sicher, dass mir hier jemand helfen kann. Meine Ideen: Wie gesagt, Frage 1 ist kein Problem. Bei Frage 2 habe ich versucht über das Vertrauensintervall ran zu kommen, hab da aber so meine Probleme. Ich will euch jetzt hier mit meinem Ansatz nicht verwirren, darum bin ich um jede Hilfe froh. Gruß Skanator
24.01.2012, 09:31	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst p so bestimmen, dass P(X=7)=0,05.
24.01.2012, 09:42	Skanator	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich bereits versucht, dabei spreizt sicher aber erstens mein Taschenrechner und zweitens, habe ich doch als Ergebnis eine maximale und theoretisch auch eine minimale Fehlerquote in der Grundgesamtheit. Mit P(x=7)=0,05 würde ich ja nur einen Wert bekommen.
24.01.2012, 10:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur weil dein Taschenrechner die Aufgabe nicht löst, ist sie also nicht lösbar Welche Gleichung hast Du denn zu lösen versucht und welche Umformungsschritte hast Du unternommen?
24.01.2012, 10:18	Skanator	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nur am Taschenrechner mach ich es nicht dingfest, ob die Aufgabe lösbar ist, oder nicht. Die Gleichung, die ich versucht habe zu lösen ist folgende: $\begin{eqnarray} 0,05= \begin{pmatrix} 70 \\ 7 \end{pmatrix} p^{7} \left(1-p\right) ^{70-7} \end{eqnarray}$ Aber da ich hier mit Umformen nicht weit komme und ich pmax suche, glaube ich, dass ist der falsche Ansatz.
24.01.2012, 10:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht doch schon recht gut aus. Wenn Du das umformst (Binomialkoeffizient auf die andere Seite, dann 7.Wurzel ziehen) bekommst Du einen Term, den Du durch gezieltes probieren iterativ lösen kannst. Das Problem dabei: Es kommt nicht 18% heraus, sondern etwas über 15%. Die gewünschten 18% erhältst Du, wenn Du über die Normalverteilung gehst und Dir die Gleichung $\begin{eqnarray} P(X\leq7)=0,05 \end{eqnarray}$ anschaust.
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24.01.2012, 10:59	Skanator	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ging mir zu schnell... ich kann doch nach dem Teilen durch den Binomialkoeffizienten nicht die 7. Wurzel ziehen?? Also kann ich schon, aber deswegen komme ich ja auch nicht leichter an mein p hin, oder? Ich hab dann ja stehen: $\begin{eqnarray} \frac{0,05}{\begin{pmatrix} 70 \\ 7 \end{pmatrix} } = p^{7} \left(1-p\right)^{63} \end{eqnarray}$ Kannst du mir die Lösung mir der Normalverteilung etwas näher erklären? Tut mir echt leid, aber das Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist nicht ganz meine Welt
24.01.2012, 11:22	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich ehrlich sein soll ist Stochastik auch nicht gerade mein Lieblingsgebiet, aber ich dachte in diesem Fall kann ich vielleicht doch helfen. Wir betrachten $\begin{eqnarray} P(X\leq7)=0,05 \end{eqnarray}$ In Normalform transformiert ergibt das $\begin{eqnarray} \Phi(\frac{7-\mu}{\sigma})=P(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq\frac{7-\mu}{\sigma})=0,05 \end{eqnarray}$ Dann nimmst Du die Tabelle für die Standardnormalverteilung her und suchst nach dem Wert 0,05.

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