Monotonienachweis

24.01.2012, 10:04	Weizenvollkorn	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonienachweis Hallo, ich möchte für $\begin{eqnarray} \text{tanh} \end{eqnarray}$ die strenge Monotonie nachweisen. Folgendes hab ich mir überlegt. Ich bin mir aber nicht sicher, ob man das alles so aufschreiben darf: Seien $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a < b \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} a &< b \end{eqnarray}$ Mit der strengen Monotonie von $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} e^a &< e^{b} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ positiv: $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow \left(e^a\right)^2 = e^{2a} &< e^{2b} = \left(e^b\right)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow e^{2a} + 1 &< e^{2b} + 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow \frac{2}{e^{2a} + 1} &> \frac{2}{e^{2b} + 1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow 1 - \frac{2}{e^{2a} + 1} &< 1 - \frac{2}{e^{2b} + 1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow \text{tanh}(a) &< \text{tanh}(b) \end{eqnarray}$ Geht das so oder sollte ich das anders machen?
24.01.2012, 12:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe keinen Grund, weshalb man dies nicht so machen kann, es ist richtig so. Alternativ dazu kann mit a = x und b = x + h (mit h > 0) gerechnet und direkt umgeformt werden; man beweist dann die Ungleichung: $\begin{eqnarray} \frac {e^{2(x+h)} - 1}{e^{2(x+h)} + 1} < \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{2h} > 0 \end{eqnarray}$ mY+
24.01.2012, 12:28	Weizenvollkorn	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Anmerkung. Ich habe nun noch eine kleine Frage dazu: Wenn ich nun anschließend noch den Wertebereich zeigen will, reicht es dann, wenn ich einfach den Limes von $\begin{eqnarray} x \to \infty \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} x \to -\infty \end{eqnarray}$ bilde?
24.01.2012, 12:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Wertebereich besteht aus allen durch die Funktion erreichbaren Funktionswerten. Eine Einschränkung kann sehr wohl durch einen Grenzwert bestehen, welcher nicht über- oder unterschritten werden kann. Also ist die Ermittlung der Grenzwerte hier durchaus sinnvoll. mY+

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