Basis von R zeigen

24.01.2012, 14:18	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von R zeigen Hallo zusammen, Folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \mathbb R _{\leq 2}[X]=\left\{ aX^2+bX+c\right\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b,c\in \mathbb R \end{eqnarray}$ die Menge der Polynome vom Grad kleinder-gleich 2. Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} v=(X^2+1,3X-1,X) \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R _{\leq 2}[X] \end{eqnarray}$ ist. Meine Idee: Mach ich das richtig wenn ich zeige, dass: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ als einzige Lösung $\begin{eqnarray} x_1=x_2=x_3=0 \end{eqnarray*}$ hat? Danke für eure Hilfe
24.01.2012, 14:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
24.01.2012, 17:45	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin gerade dabei, die Aufgabe weiter zu machen. Nun soll ich eine Basis von ker(f) und von im(f) bestimmen. $\begin{eqnarray} f(aX^2+bX+c)=(a+c)X^2+bX \end{eqnarray}$ Meine Idee: Def: $\begin{eqnarray} ker(f)=(a\in V;f(a)=0) \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} (a+c)X^2+bX=0 \end{eqnarray}$ darauf folgt zum Beispiel $\begin{eqnarray} a=1, b=0, c=-1 \end{eqnarray}$ Ist dann $\begin{eqnarray} (1,0,-1) \end{eqnarray}$ eine Basis für ker(f)?
24.01.2012, 18:09	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss dann, vorrausgesetzt das von vorher stimmt, die Dimension vom Bild nach der Dimensionsformel nicht 1 sein? Kann ich dann einfach $\begin{eqnarray} (1,1,1) \end{eqnarray}$ als Basis für im(f) wählen?

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