Extremwertaufgabe Rotationskörper

24.01.2012, 14:28

Shiby

Extremwertaufgabe Rotationskörper

Hallo Leute,
ich soll folgende Aufgabe lösen: Eine Gerade der Form mx+b mit m<0 geht durch den Punkt P(2|1) und begrenzt ein Dreieck mit den Koordinatenachsen. Für welches m ist der Rotationskörper maximal.

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[attach]22830[/attach]

Gegeben: $\begin{eqnarray*} f(x) = mx+b \end{eqnarray*}$ mit m<0 ; P(2|1)

Zuerst hab ich mithilfe des Punktes P das b in der Funktionsgleichung eliminiert um.

$\begin{eqnarray*} f(2) = 1 ==> 2m+b=1 |-2m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=1-2m \end{eqnarray*}$

Das hab ich in f(x) eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} f(x) = mx+1-2m \end{eqnarray*}$

Als nächsten Schritt habe ich die Grenzen meines Integrals bestimmt. Eine ist ja schon gegeben und zwar die Null. die Zweite ist die Nullstelle der Funktion die es nun zu berechnen gilt.

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} mx+1-2m = 0 | -(1-2m) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} mx = -1+2m | :m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{-1+2m}{m} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_n = \frac{-1}{m}+2 \end{eqnarray*}$

Als nächstes hab ich alles was ich bis jetzt weiß in die Formel für Rotationskörper eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} V =\pi \int_0^{\frac{-1}{m}+2} \! (mx+1-2m)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Dann hab ich erst einmal als Nebenrechnung (f(x)) zum Quadrat ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} (mx+1-2m)^2 = m^2x^2+2mx(1-2m)+(1-2m)^2= m^2x^2+2mx-4m^2x+1-4m+4m^2 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich einen neuen Index eingeführt weil ich es so schöner findeund die Gleichung nach Potenzen geordnet.

$\begin{eqnarray*} (f(x))^2=f_R (x) = m^2x^2-4m^2x+2mx+4m^2-4m+1 \end{eqnarray*}$

Als nächstes hab ich dann $\begin{eqnarray*} f_R (x) \end{eqnarray*}$ integriert.

$\begin{eqnarray*} F_R (x) = \frac{m^2}{3}x^3-2m^2x^2+mx^2+(4m^2-4m+1)x \end{eqnarray*}$

Jetzt wieder zurück zur Formel für Rotationskörper

$\begin{eqnarray*} V =\pi \int_0^{\frac{-1}{m}+2} \! (mx+1-2m)^2 \, dx = \pi(F_R (\frac{-1}{m}+2)-F_R (0)) \end{eqnarray*}$

Da es trivial ist , dass $\begin{eqnarray*} F_R (0) \end{eqnarray*}$ gleich Null ist hab ich den Wert der Stammfunktion für die unteregrenze berechnet.

$\begin{eqnarray*} \frac{m^2}{3}({\frac{-1}{m}+2})^3-2m^2({\frac{-1}{m}+2})^2+m({\frac{-1}{m}+2})^2+(4m^2-4m+1)({\frac{-1}{m}+2}) \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich einzelne Teile der Gleichung ausmultipliziert.

$\begin{eqnarray*} ({\frac{-1}{m}+2})^3 = \frac{-1}{m^3}+\frac{6}{m^2}-\frac{12}{m}+8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ({\frac{-1}{m}+2})^2 = \frac{1}{m^2}-\frac{4}{m}+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4m^2-4m+1)({\frac{-1}{m}+2}) = -4m+8m^2+4-8m-\frac{1}{m}+2 = 8m^2-12m-\frac{1}{m}+6 \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich die ganzen Almultiplizierungen wieder in die Stammfunktion eingefügt und weiter vereinfacht.

$\begin{eqnarray*} \frac{m^2}{3}(\frac{-1}{m^3}+\frac{6}{m^2}-\frac{12}{m}+8)+m(\frac{1}{m^2}-\frac{4}{m}+4)-2m^2(\frac{1}{m^2}-\frac{4}{m}+4)+8m^2-12m-\frac{1}{m}+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{-m^2}{3m^3}+\frac{6m^2}{3m^2}-\frac{12m^2}{3m}+\frac{8m^2}{3}+\frac{m}{m^2}-\frac{4m}{m}+4m-\frac{2m^2}{m^2}+\frac{8m^2}{m}-8m^2+8m^2-12m-\frac{1}{m}+6 \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt hab ich nur die Brüche gekürzt und den Term $\begin{eqnarray*} -8m^2+8m^2 \end{eqnarray*}$ hab ich wegfallen lassen weil es so offensichtlich war.

$\begin{eqnarray*} =\frac{-1}{3m}+2-4m+\frac{8m^2}{3}+\frac{1}{m}-4+4m-2+8m-12m-\frac{1}{m}+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2-4m-\frac{1+8m^3}{3m} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{8m^3-12m^2+6m-1}{3m} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist noch das Pi aus der Formel zu beachten. Damit lautet die Funktionsgleichung:

$\begin{eqnarray*} f(m) = \pi\frac{(8m^3-12m^2+6m-1}{3m} \end{eqnarray*}$

Das Pi steht als Faktor vor dem Bruch also muss ich es beim differenzieren nicht beachten somit ist f '(m):

$\begin{eqnarray*} f'(m) = \frac{(24m^2-24m+6)3m-3(8m^3-12m^2+6m-1)}{(3m)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{72m^3-72m^2+18m-24m^3+36m^2-18m+3}{9m^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(m) = \pi\frac{48m^3-36m^2+3}{9m^2} \end{eqnarray*}$

Nun kann der Hochpunkt errechnet werden.

$\begin{eqnarray*} f'(m) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 48m^3-36m^2+3 = 0 \end{eqnarray*}$

Die Lösungen sind $\begin{eqnarray*} x_E1 = -0,25 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_E2 = 0,5 \end{eqnarray*}$

Der Hochpunkt liegt bei x= 0,5 und der Tiefpunkt bei x=-0,25

Und jetzt hab ich ein Problem denn m sollte doch kleiner Null sein mein m ist aber größer Null laut meinre Rechnung. Wo ist der Fehler?

LG Shiby

24.01.2012, 19:23

Dopap

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RE: Extremwertaufgabe Rotationskörper

Zitat:

Original von Shiby
$\begin{eqnarray*} 48m^3-36m^2+3 = 0 \end{eqnarray*}$

Die Lösungen sind $\begin{eqnarray*} \color {red}m\color {black}_E1 = -0,25 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \color {red}m \color {black}_E2 = 0,5 \end{eqnarray*}$

Der Hochpunkt liegt bei x= 0,5 und der Tiefpunkt bei x=-0,25

Und jetzt hab ich ein Problem denn m sollte doch kleiner Null sein mein m ist aber größer Null laut meinre Rechnung. Wo ist der Fehler?

LG Shiby

Der Laie staunt und der Fachmann wundert sich verwirrt

1.) Das ist alles sehr schön und richtig gerechnet. Freude

Aber die Mathematik lügt nicht.

2.) Das Problem ist die Aufgabe. Selbst gestellt?
Wie richtig gerechnet gibt es für m=-0.25 ein Minimum.
Für m=0.5 gibt es kein relatives Maximum, sondern ein absolutes Minimum = 0

Fazit: In der Aufgabe ein Minimum suchen lassen, dann ist alles in Ordnung. smile

24.01.2012, 19:26

Shiby

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Ups stimmt ja gar nicht x=0,5 ist ein Sattelpunkt hilft mir aber auch nicht weiter.
Wo ist denn der Fehler?

24.01.2012, 19:31

Shiby

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Danke für deine Antwort. Also ist die Lösung es gibt keine Lösung smile

Nein die Aufgabe hab ich mir nicht selber gestellt die hab ich von meinem Mathelehrer

25.01.2012, 02:07

chris_78

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Ergänzend sei vielleicht noch angemerkt, dass man sich das auch sehr leicht erklären kann warum es kein Maximum gibt.
Was passiert nämlich wenn m gegen 0 geht? Der Schnittpunkt auf der y-Achse (also b) rutschte nach unten und geht gegen 1 und der Schnittpunkt mit der x-Achse wandert weiter nach rechts und geht gegen +unendlich, was zur Folge hat, dass auch der Flächeninhalt des Dreiecks immer größer wird.

Und andersrum kann m natürlich auch gegen -unendlich gehen. Dann rutscht der Schnittpunkt auf der y-Achse (also b) immer weiter nach oben und der Schnittpunkt mit der x-Achse geht gegen 2, was ebenfalls einen immer größer werdenden Flächeninhalt zur Folge hat.

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