Stochastische Unabhängigkeiten/ Mengen Berechnung (De Morgan)

24.01.2012, 16:56

Mikey22

Stochastische Unabhängigkeiten/ Mengen Berechnung (De Morgan)

Guten Tag Matheboard,

ich habe mit folgender Aufgabe ein Problem:

2.0 Bei der Serienschaltung eines technischen Gerätes können zweierlei Schäden auftreten:

E1: Der Motor ist defekt.
E2: Das Gehäuse ist defekt.

Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind P(E1)= 0,15 und P(E2)= 0,10. Die Schäden treten voneinander stochastisch unabhängig auf.

Ein Gerät wird weggeworfen, wenn E1 und E2 eintritt, nachgebessert, wenn nur einer der beiden Schäden eintritt.

Berechnen sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
2.1 A: Das Gerät wird weggeworfen
2.2 B: Das Gerät wird nachgebessert
2.3 C: Das hergestellte Gerät ist tadellos
2.4 D: 6 nacheinander hergestellte Geräte sind tadellos.

Da ich selbst leider keinen Scanner habe um ein Bild hochzuladen, hoffe ich, dass die Leute, die mir helfen selbst eine Vierfeldertafel/Tabelle erstellen können.

Meine Lösungswege:

2.1 A: Das Gerät wird weggeworfen

Ich glaube das müsste P(A)= P(E1 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ E2)= P(E1)*P(E2)= 0,015 sein - oder?

Wieso E1 und E2 = E1 sind die Motorschäden und E2 sind die Gehäuseschäden

2.2 B: Das Gerät wird nachgebessert.

Oben aus der Angabe kann ich entnehmen, dass nur dann nachgebessert wird, wenn nur einer der beiden Schäden eintritt.

P(B)=(E1 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ Nicht-E2) $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ (E2 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ Nicht-E1)= 0.135 + 0.085 = 0.22

Ist dieser Ansatz richtig? Soweit ich es gelernt habe, muss eines von 2 Ereignissen auftreten, damit ich diese Formel anwenden darf?

2.3 C: Das hergestellte Gerät ist tadellos.

P(C)=(Nicht-E1 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ Nicht-E2) = 0.765?

Das scheint mir logisch zu sein, da ich ein perfektes Gerät besitzen möchte, weder mit Motor- noch mit Gehäuseschäden =Schnittmenge davon.

2.4 D: 6 nacheinander hergestellte Geräte sind tadellos.

Aus der vorherigen Aufgabe wissen wir, das P(C)=(Nicht-E1 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ Nicht-E2) = 0.765? ist und eben ein tadellose gerät. Muss ich das jetzt einfach mal ^6 nehmen oder wie?

mfg

PS: Schon mal danke im voraus.

PPS: Gibt es eigentlich eine grobe Regel, die besagt wann man bei stochastischen Unabhängigkeiten mal nehmen muss, bzw plus rechnen muss? Tue mich dort manchmal schwer...

z. B. bei Schnittmengen immer mal, wenn man es auf die Unabhängigkeit prüfen muss? Und ansonsten bei den restlichen De Morgan-Manöver nur + bzw - ?

EDIT: Bemerke gerade, dass ich es im falschen Unterforum gepostet habe, sollte eher in die Schulmathematik - tut mir Leid. :/

24.01.2012, 23:20

chris_78

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Hallo,

das sieht alles gut aus. Auch Dein Ansatz in 2.4 mit ^6 passt.
Ansonsten hast Du ja schon richtig angewendet, dass bei stochastischer Unabhängigkeit von E1 und E2 gilt:
P(E1 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ E2)= P(E1)*P(E2)
P(E1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ E2)=P(E1)+P(E2)

25.01.2012, 10:24

Math1986

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Zitat:

Original von chris_78
P(E1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ E2)=P(E1)+P(E2)

Das gilt nur, wenn E1 und E2 disjunkt sind - was sie hier aber eben nicht sind.

Im Allgemeinen ist dies für unabhängige Ereignisse falsch - hier muss man die Siebformel anwenden.

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