Kurvendiskussion:Trigonometrie

15.01.2007, 18:19

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurvendiskussion:Trigonometrie

Hi

Ich habe einige Fragen zu trignometrischen Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=1-\cos(x) \end{eqnarray*}$ untersuchen in [0;2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ [

Nullstellen: $\begin{eqnarray*} 0=1-\cos(x) \end{eqnarray*}$
Wie geh ich jetzt weiter vor ?
$\begin{eqnarray*} 1=\cos(x) \end{eqnarray*}$
da kommt für x=0 raus, aber ich muss ja bis 2pi untersuchen. WIe finde ich die anderen Nullstellen bis dahin?

Das gleiche mit dieser Funktion:

$\begin{eqnarray*} h(x)=3cos(2x)-5-cos(6x)+cos(3x) \end{eqnarray*}$

Erst einmal die Frage, wie ich die Periode und die Amplitude einer trigon. Funkt. bestimmen kann?

15.01.2007, 18:39

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dir den Verlauf der Cos-Funktion (Graph) bzw. die Werte am Einheitskreis ansiehst, wirst du sehen, dass diese Funktion nur bei 0 und $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ den Wert 1 hat.

Die Periodenlänge der sin-, cos- Fkt ist $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ , die von der tan- Fkt beträgt $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Für das Problem bei zusammengesetzten Funktionen gab's vor kurzem hier einen interessanten Thread, ich muss den Link erst suchen.

mY+

15.01.2007, 18:49

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dass du einen Thread für mich suchst.

Kannst du noch diese Fragen bitte beantworten:
-Wie kann ich die restlichen Nullstellen von f berechnen? Auf welche Weise?
-Woher weiß ich, wenn ich bis zu einem bestimmten Intervall die Nullstellen berechnen soll, wie viele Nullstellen ich berechnen muss?

15.01.2007, 19:28

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wie kann ich die restlichen Nullstellen von f berechnen? Auf welche Weise?

Wie bereits von mYthos beantwortet, besitzt deine Funktion im Intervall $\begin{eqnarray*} [0;2\pi] \end{eqnarray*}$ nur die Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = 2\pi \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Woher weiß ich, wenn ich bis zu einem bestimmten Intervall die Nullstellen berechnen soll, wie viele Nullstellen ich berechnen muss?

Du berechnet alle Nullstellen, die deine Funktion in diesem Intervall besitzt. Die Anzahl der Nullstellen kannst du mit Hilfe der Periodenlänge feststellen.

Gruß, mercany

15.01.2007, 19:30

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

ok
Nun zur hauptsächlichen Frage:

Wie kann ich überhaupt Nullstellen berechnen?
z.B. von dieser:

$\begin{eqnarray*} 0=cos(2x)-1 \end{eqnarray*}$

Wie muss man bei sowas genau vorgehen?

15.01.2007, 19:38

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst 2x als eine Variable auffassen (wie Substitution) und daher direkt nach 2x lösen:

$\begin{eqnarray*} \cos 2x = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x = 0 + k \cdot 2 \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = ... \end{eqnarray*}$

mY+

Anzeige

15.01.2007, 19:48

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

aha verstehe.

Nur ne Frage: Warum ist es 2pi*k? Das sind doch die Nullstellen von der Sinusfunktion.
Bsp: $\begin{eqnarray*} cos(x)=0 \end{eqnarray*}$
Da geht jetzt nicht

$\begin{eqnarray*} x=1+2\pi\cdot k \end{eqnarray*}$

Warum darfst du das beim anderen und wann weiß ich, dass ich das so darf?

15.01.2007, 19:50

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum anderen:

Um die Periodenlänge - oder auch Nullstellen, Extrema - von zusammengesetzen Funktionen zu berechnen, muss man die Additionstheoreme verwenden. Das geht aber meist nur bei speziellen Angaben; die allgemeineren Fälle wurden teilweise in u.s. Links behandelt.

[Den ggst. Link, den ich dir angekündigt habe:]

Harmonische Schwingung / Trigonometrische Gleichung

und

nach f(x) = a*sin(x + b)

mY+

15.01.2007, 19:53

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PG
..
Nur ne Frage: Warum ist es 2pi*k? Das sind doch die Nullstellen von der Sinusfunktion.
Bsp: $\begin{eqnarray*} cos(x)=0 \end{eqnarray*}$
Da geht jetzt nicht

$\begin{eqnarray*} x=1+2\pi\cdot k \end{eqnarray*}$

Warum darfst du das beim anderen und wann weiß ich, dass ich das so darf?

Dein Fehler ist die 1, statt dessen gehört $\begin{eqnarray*} \arccos (1) = 0 \end{eqnarray*}$ !!

Also:

$\begin{eqnarray*} x = \arccos 1 + 2\pi\cdot k = 0 + 2\pi\cdot k \end{eqnarray*}$

Und k ist ein ganzzahliger Zählindex, wodurch quasi alle Lösungen abgedeckt werden.

mY+

15.01.2007, 21:34

zt

Auf diesen Beitrag antworten »

@PG..

Dieser Link und auch dieser sind wie ich glaube, recht gut für deine Prüfungsvorbereitung geeignet.

b) Sollst du hier ein genaues Ergebnis bringen? So wie ich das sehe, gibt es hier keine gescheite Umformung. Also Näherungsverfahren anwenden.

15.01.2007, 21:58

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

danke

15.01.2007, 22:40

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

hi
Ich bins nochmal
ich rechne gerade mit solche trig. funktionen und dabei ist mir ein Rätsel aufgetaucht:

$\begin{eqnarray*} f(x)=3sin(4x+4)+1 \end{eqnarray*}$

Nullstellen berechnen

$\begin{eqnarray*} 0=f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\pi\cdot k+\arcsin{-\frac{1}{3}} =4x+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{2\pi\cdot k+\arcsin{-\frac{1}{3}}-4}{4} \end{eqnarray*}$

Ich habe so gerechnet, wie ihr es mir gezeigt habt, aber ich bekomme nicht alle Nullstellen, sondern jede zweite Nullstelle! Wie bekomme ich die anderen? Wann weiß ich, dass ich nicht alle habe?

15.01.2007, 22:53

zt

Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht. Das ist doch alles korrekt. Wink

Wink

Nur waren das natürlich nicht alle. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit.. Da hast du den Inhalt deines Postes ja komplett editiert.

Was dir fehlt ist. $\begin{eqnarray*} sin(a)=b \Leftrightarrow\ a=\pi-arcsin(b)+2\cdot{\pi\cdot{k}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

16.01.2007, 19:30

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

warum geht z.B. folgendes nicht:

$\begin{eqnarray*} f(x)=cos(x)-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x)-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} arccos(1)+\pi\cdot k=x \end{eqnarray*}$

hier gehen z.B. nur gerade Zahlen. Aber die Frage ist doch: Woher weiß ich sowas? Woran merke ich das?
Bei manchen muss ich mit 2pi addieren, bei anderen wiederum nur mit pi und bei anderen was ganz anderes!
Kann man das nicht verallgemeinern?

16.01.2007, 19:37

zt

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst immer 2 Pi hinzuaddieren, weil der Cosinus und der Sinus nunmal 2-Pi-periodisch ist. Woher kommst du denn auf 1*Pi*k?

16.01.2007, 19:40

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

ok du sagst mit 2pi- das dachte ich auch erst, aber bei manchen Funktionen bekomme ich nicht die ganzen Nullstellen wie z.B.

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=arcsin(0)+2\pi k=2\pi k \end{eqnarray*}$
Warum geht das hier z.B. nicht? Bitte erklären

16.01.2007, 19:53

zt

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil der Sinus und der Cosinus 2-Pi-Periodisch ist (=> 2 Halbwellen, einmal positiv und einmal negativ) kann ein Funktionswert 2 mal vorkommen. Positive Funktionswerte nur in der positiven Halbwelle und umgekehrt.

Du willst $\begin{eqnarray*} cos(a)=b \end{eqnarray*}$ lösen:

$\begin{eqnarray*} a_1=arccos(b)+2\cdot{\pi}\cdot{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2=2\cdot{\pi}\cdot{k}-arccos(b) \end{eqnarray*}$

Edit: Ich überlege gerade wie man das besser anschaulich machen kann. unglücklich

unglücklich

16.01.2007, 20:00

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss dann Betragsstriche setzen oder?

16.01.2007, 20:25

zt

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Nein, Betragsstriche haben hier nix zu suchen.

Nochmal auf den Sinus bezogen:

Der doofe Plotter zeichnet die asin()-Fkt. nicht richtig, deshalb schau' dir die Fkt. bei Wikipedia an.

An dem Bild hier erkennst du doch, dass ein Funktionswert f(x) pro 2*pi-Periode 2 mal vorkommt:

Die x-Koordinate des ersten Schnittpunktes des Sinus mit der Gerade y=1/2 (siehe Bild) liegt bei $\begin{eqnarray*} arcsin\left(\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ (allgemein: arcsin(bla)). Der 2. Schnittpunkt liegt dementsprechend bei $\begin{eqnarray*} \pi-arcsin\left(\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ (allgemein: Pi-arcsin(bla)).

Jetzt hast du aber nur die erste Periode betrachtet. Um die weiteren Perioden mit ranzuziehen, addierst du einfach $\begin{eqnarray*} 2\pi{k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb {Z} \end{eqnarray*}$ . (weil ja, der Sinus und der Cosinus eben beide 2-Pi-Periodisch sind)

16.01.2007, 20:38

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von zt
Die x-Koordinate des ersten Schnittpunktes des Sinus mit der Gerade y=1/2 (siehe Bild) liegt bei $\begin{eqnarray*} arcsin\left(\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ (allgemein: arcsin(bla)). Der 2. Schnittpunkt liegt dementsprechend bei $\begin{eqnarray*} \pi-arcsin\left(\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ (allgemein: Pi-arcsin(bla)).

Aber dann geht es wieder bei Cosinus nicht mehr, denn z.B.:

$\begin{eqnarray*} f(x)=cos(x)-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=2pi\cdot k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\pi-0+2\pi\cdot k \end{eqnarray*}$

Oder gilt das im Zitat immer für Sinus und für Kosinus nur 2pi?

16.01.2007, 20:50

zt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} x_2=\pi-0+2\pi\cdot k \end{eqnarray*}$

zu $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ) Stimmt so.
zu $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ) Was hat denn das erste Pi da zu suchen? Nix.

Was ich dir im letzten Beitrag versucht habe zu zeigen (ich bin total schlecht im Erklären wie du merkst unglücklich

unglücklich

) bezog sich auf den Sinus. Die Formeln für den Cosinus habe ich dir aber weiter oben im Thread schonmal gegeben.

Aber mal abgesehen davon, hättest du sehen können, dass es im Spezial $\begin{eqnarray*} cos(x)=1 \end{eqnarray*}$ ausreicht $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, weil der Funktionswert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ nur einmal je Periode vorkommt. (Das haben die Extrema hier so an sich ^^)

16.01.2007, 21:07

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich habe es verstanden(durch den Einheitskreis).

Kommen wir mal zur Aufgabe zurück.

Bestimmung der Extrema:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= -4cos^2(x)+2cos(x)+2 \end{eqnarray*}$

Ich bin so vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} 0= -4cos^2(x)+2cos(x)+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2= -4cos^2(x)+2cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1= 2cos^2(x)-cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1= (2cos(x)-1)\cdot cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=(2cos(x)-1)\cdot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2cos(x)-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} arccos(0,5)=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=arccos(0,5) \end{eqnarray*}$

Ich brauche die Ergebnisse. Sag mir, was falsch ist und warum. bitte

16.01.2007, 21:17

zt

Auf diesen Beitrag antworten »

Von welcher Funktion ist das die Ableitung?

Wie kommst du von $\begin{eqnarray*} 1= (2cos(x)-1)\cdot cos(x) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 0=(2cos(x)-1)\cdot x \end{eqnarray*}$ ?

16.01.2007, 21:19

Schmonk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Zitat:

Original von PG
Ich glaube, ich habe es verstanden(durch den Einheitskreis).

Kommen wir mal zur Aufgabe zurück.

Bestimmung der Extrema:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= -4cos^2(x)+2cos(x)+2 \end{eqnarray*}$

Ich bin so vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} 0= -4cos^2(x)+2cos(x)+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2= -4cos^2(x)+2cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1= 2cos^2(x)-cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1= (2cos(x)-1)\cdot cos(x) \end{eqnarray*}$

Bis hier hin ist es zumindest richtig umgeformt, aber was hast du im nächsten Schritt gemacht?

$\begin{eqnarray*} 0=(2cos(x)-1)\cdot x \end{eqnarray*}$

Aber ich würde an die GLeichung ganz anders ran gehen:

$\begin{eqnarray*} 0= -4\cos^2(x)+2\cos(x)+2 \end{eqnarray*}$

setze $\begin{eqnarray*} z=\cos(x) \end{eqnarray*}$

und du erhälst

$\begin{eqnarray*} 0= -4z^2+2z+2 \end{eqnarray*}$

Das kannst du wie gewohnt lösen und dann, wenn du für z zwei Werte erhalten hast, kannst du auch die x-Werte berechnen. Es sind mehr als zwei!

16.01.2007, 22:33

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfen!
Ich habe es verstanden

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »